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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB中点,EF分别为边BC和边AC上两点,且∠EDF=90

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 23:38:59
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB中点,EF分别为边BC和边AC上两点,且∠EDF=90

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB的中点,E,F分别为边BC和AC上两点,且∠EDF=90°;(1)求证:AF^2+BE^2=EF^2;(2)若BE=5,AF=12,求EF的长


如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB中点,EF分别为边BC和边AC上两点,且∠EDF=90
【1】
下面给出一个三角证法
设∠DEB=x,∠BDE=y,∠EBD=z.则∠DFC=x,∠AFD=180°-x,
∠ADF=90°-y,∠DAF=90-z.
在△BDE,△ADF中,由正弦定理得
BD/sinx=DE/sinz=BE/siny;
AD/sinz=DF/cosz=AF/cosy.
∵DE⊥DF,∠C=90°,∴C,E,D,F四点共圆,且EF为直径.
故EF=CD/sinx.
又∵D是Rt△ACB斜边上的中点,∴CD=AD=BD.
故 EF=BE/siny=AF/cosy,
因此AF^2+BE^2=EF^2*[(siny)^2+(cosy)^2]=EF^2.
【2】
作AG//BC交CD延长线于G
因∠DEB=∠DGA ,AD=BD
又有对顶角 ,故△DEB≌△DGA
于是AG=BE=5 ,DG=DE,又FD⊥GE
故GF=EF
而GF=(√AF^2+AG^2)=√(12^2+5^2)= 13 ,
即EF=13