如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC是正三角形,AB=4,PA=3,M是AB的中点.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/16 21:14:28
如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC是正三角形,AB=4,PA=3,M是AB的中点.
(1)求证:CM⊥平面PAB;
(2)设二面角A-PB-C的大小为θ,求cosθ的值.
(1)求证:CM⊥平面PAB;
(2)设二面角A-PB-C的大小为θ,求cosθ的值.
(本题15分)
(Ⅰ)证明:因为PA⊥底面ABC,
所以PA⊥CM.┅(3分)
因为△ABC是正三角形,
M是AB的中点,所以CM⊥AB.┅(6分)
所以,CM⊥平面PAB.┅(7分)
(Ⅱ)以M为原点,MC为x轴,MB为y轴,
建立空间直角坐标系O-xyz,如图.
AP=(0,0,3),
AC=(2
3,2,0).
设
n=(x,y,z)是平面APC的法向量,
则
n•
AP=3z=0
n•
AC=2
3x+2y=0,取x=1,得
n=(1,-
3,0).┅(10分)
BP=(0,−4,3),
BC=(2
3,−2,0).
设
m=(a,b,c)是平面BPC的法向量,
则
m•
BP=−4b+3c=0
m•
BC=2
3a−2b=0,取a=
3,得
m=(
3,3,4).┅(13分)
故cosθ=|cos<
m,
n>|=
2
3
2×2
7=
21
14.┅(15分)
(Ⅰ)证明:因为PA⊥底面ABC,
所以PA⊥CM.┅(3分)
因为△ABC是正三角形,
M是AB的中点,所以CM⊥AB.┅(6分)
所以,CM⊥平面PAB.┅(7分)
(Ⅱ)以M为原点,MC为x轴,MB为y轴,
建立空间直角坐标系O-xyz,如图.
AP=(0,0,3),
AC=(2
3,2,0).
设
n=(x,y,z)是平面APC的法向量,
则
n•
AP=3z=0
n•
AC=2
3x+2y=0,取x=1,得
n=(1,-
3,0).┅(10分)
BP=(0,−4,3),
BC=(2
3,−2,0).
设
m=(a,b,c)是平面BPC的法向量,
则
m•
BP=−4b+3c=0
m•
BC=2
3a−2b=0,取a=
3,得
m=(
3,3,4).┅(13分)
故cosθ=|cos<
m,
n>|=
2
3
2×2
7=
21
14.┅(15分)
三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥P-ABC的体积等于______
在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥体积为
如图,在三棱锥P-ABC中,侧棱PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E、F分别是棱BC、PC的中点.
已知如图,三棱锥P-ABC中,PA垂直于底面ABC,AC垂直于BC,M,N分别是AB和PB的中点.
在正三棱锥P-ABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中,AB=4,PA=8,
在三棱锥p-ABC中,底面AC是边长为4的正三角形,PA=PC=2根号3,侧面PAC垂直ABC,M.N分别为AB.PB的
如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.
如图,已知凌锥P-ABC的底面是边长为6的正三角形,侧棱PA⊥底面ABC.且PA=3根号3求(1)三棱锥P-ABC的体积
如图,在三棱锥P-ABC中,直线PA⊥平面ABC,且∠ABC=90°,又点Q,M,N分别是线段PB,AB,BC的中点,且
在三棱锥P-ABC中,底面ABC为直角三角形,AB=BC,PA=2AB,PA⊥平面ABC
在三棱锥P-ABC中,底面ABC为直角三角形,AB=BC,PA⊥平面ABC
如图在三棱锥P-ABC中PA⊥平面ABC∠BAC=90°D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1PA=2