2013广州中考数学题

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/14 10:12:23

2013广州中考数学题
已知AB是⊙O的直径,AB=4,点C在线段AB的延长线上运动,点D在⊙O 上运动（不与点B重合）,连接CD,且CD=OA.(1)当OC=22时（如图12）,求证：CD是⊙O的切线；
（2）当OC＞22时,CD所在直线于⊙O相交,设另一交点为E,连接AE.
①当D为CE中点时,求△ACE的周长;

（1）证明：连接OD,如答图①所示．
由题意可知,CD=OD=OA=AB=2,OC=
,
∴OD2
+CD2
=OC2

由勾股定理的逆定理可知,△OCD为直角三角形,则OD⊥CD, 又∵点D在⊙O上,

∴CD是⊙O的切线．
（2）①如答图②所示,连接OE,OD,则有CD=DE=OD=OE, ∴△ODE为等边三角形,∠1=∠2=∠3=60°； ∵OD=CD,∴∠4=∠5,
∵∠3=∠4+∠5,∴∠4=∠5=30°, ∴∠EOC=∠2+∠4=90°,
因此△EOC是含30度角的直角三角形,△AOE是等腰直角三角形．在Rt△EOC中,CE=2OA=4,OC=4cos30°=, 在等腰直角三角形AOE中,AE=OA=,
∴△ACE的周长为：AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC）=+4+（2+）=6++．
②存在,这样的梯形有2个．
答图③是D点位于AB上方的情形,同理在AB下方还有一个梯形,它们关于直线AB成轴对称． ∵OA=OE,∴∠1=∠2,
∵CD=OA=OD,∴∠4=∠5,
∵四边形AODE为梯形,∴OD∥AE,∴∠4=∠1,∠3=∠2, ∴∠3=∠5=∠1,
在△ODE与△COE中,

∴△ODE∽△COE, 则有
,∴CE•DE=OE2
=22
=4．
∵∠1=∠5,∴AE=CE, ∴AE•DE=CE•DE=4．
综上所述,存在四边形AODE为梯形,这样的梯形有2个,此时AE•DE=4

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