如图,在平行四边形ABCD中,AB=BC=CD=1,

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/02 06:14:37

如图,在平行四边形ABCD中,AB=BC=CD=1,使平面ABC垂直于平面ACD.
1.求证：平面ABD平行于平面BCD
2.求三棱锥B-ACD的体积

解前分析：
① △ABC 是等腰直角三角形,且 AB = BC = 1,AC = √2,∠ABC = 90°
② △ACD 是直角三角形,且 CD = 1,AC = √2,AD = √3,∠ACD = 90°
本题将用到的知识点：
① 如果两个面垂直,则在一个面内垂直于两面交线的直线与另一个面垂直；
② 三垂线定理.
③ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个面垂直.
④ 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线垂直于两相交直线决定的平面.
（1）本问的证明有两种证法：
第一中证法：
∵ 已知平面ABC垂直于平面ACD,且此两面相较于AC,
又 ∵DC⊥ 交线AC,DC在面ACD内,
∴ DC ⊥ 面ABC
而 AB ∈面ABC
∴ DC ⊥ AB
即 AB ⊥ DC .又 ∵ AB ⊥ BC,且 BC 和 DC 是平面BCD 内的两相交线,
∴ AB ⊥ 平面BCD
又 ∵ 平面ABD经过AB
∴ 平面ABD ⊥平面BCD
第二种证法：
∵平面ABC垂直于平面ACD
而 AB在底面ACD内的射影在AC上,且DC ⊥ AC
即 DC 垂直于AB在底面的射影,
∴ DC ⊥ AB （下同证法一）
（2）求三棱锥B-ACD的体积.
△ABC是等腰直角三角形,取斜边AC的中点E,连BE,则BE⊥AC
∵ BE在面ABC内,平面ABC垂直于平面ACD,且BE ⊥交线AC
由于“如果两个面垂直,则在一个面内垂直于两面交线的直线与另一个面垂直”
∴ BE ⊥ 面ACD
∴ BE 是三棱锥B-ACD 的高.
BE = √2/2 底面ACD的面积S= （1/2）× AC × CD = （1/2）× √2 × 1 = √2/2
∴三棱锥B-ACD的体积 V = （1/3）× BE × S
= （1/3）× (√2/2) × (√2/2)
= 1/6 .
∴

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