向三角形ABC外构造等边三角形ABD和ACE,P是AD中点,N是CE中点,BM=3MC.求证:PN=2MN

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/25 01:58:52

令BC的中点、AB的中点、AC的中点依次为F、G、H,令AG的中点为J,令AC交EF于K.
∵△ABD、△ACE都是等边三角形,又G、H分别是AB、AC的中点,
∴DG＝（√3/2）AB、HE＝（√3/2）AC.
∵G、J分别是AB、AG的中点,∴BJ＝3AJ,又BM＝3CM,∴BJ/AJ＝BM/CM,∴JM∥AC,
∴△JBM∽△ABC,∴JM/AC＝BM/BC＝BM/（BM＋CM）＝3CM/（3CM＋CM）＝3/4,
∴JM＝（3/4）AC.
∵F、H分别是BC、AC的中点,∴FH是△ABC的中位线,∴FH＝（1/2）AB.
∵P、J分别是AD、AG的中点,∴PJ是△ADG的中位线,∴PJ＝（1/2）DG＝（√3/4）AB.
由PJ＝（√3/4）AB、FH＝（1/2）AB、JM＝（3/4）AC、EH＝（√3/2）AC,得：
PJ/FH＝JM/HE＝√3/2.
∵FH是△ABC的中位线,∴FH∥BA,∴∠FHC＝∠BAC.
∵JM∥AC,∴∠BJM＝∠BAC,∴∠BJM＝∠FHC.
明显有：∠DGB＝∠EHC＝90°.
∵PJ是△ADG的中位线,∴PJ∥DG,∴∠DGB＝∠PJB,∴∠PJB＝90°.
由∠BJM＝∠FHC、∠PJB＝∠EHC＝90°,得：∠BJM＋∠PJB＝∠FHC＋∠EHC,
∴∠PJM＝∠FHE,而PJ/FH＝JM/HE,∴△JPM∽△HFE,∴∠JMP＝∠HEK.
∵BM＝3CM,∴CM＝（1/4）BC,又FC＝（1/2）BC,∴FC＝2CM,∴M是FC的中点,.
∵M、N分别是FC、CE的中点,∴MN是△CEF的中位线,∴MN∥EF.
由JM∥AC、MN∥EF得：∠JMN＝∠HKE.
∴∠PMN＝∠JMP＋∠JMN＝∠HEK＋∠HKE.
∵∠EHK＝90°,∴∠HEK＋∠HKE＝90°,∴∠PMN＝90°.
∵△JPM∽△HFE,∴PM/EF＝PJ/FH＝√3/2.
∵MN是△CEF的中位线,∴EF＝2MN,∴PM/EF＝PM/（2MN）＝√3/2,∴PM/MN＝√3.
由∠PMN＝90°,得：cot∠MPN＝PM/MN＝√3,∴∠MPN＝30°.
由∠PMN＝90°、∠MPN＝30°,得：PN＝2MN.
再问：额，好像很麻烦...

已知三角形ABC是等边三角形,D是AC的中点,CE=CD,DM垂直BE,求证:BM=EM 在直角三角形ABC中做等边三角形ABD和ACE,点p是BC的中点,M是BD的中点,N是CE的中点,求角MPN的度数. 三角形ABC是等边三角形,D,E分别是AC,BC上的点,BD,AE交于N,BM垂直AE于M,且AD=CE,求证MN=2分三角形ABC是等腰三角形,分别向三角形ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,若角DAE=角DBC,求三角形ABC 1如图,以三角形ABC,AB,AC边构造等腰Rt△ABD,等腰Rt△ACE,M,N,P分别是AD,AE,BC中点,求线段如图,三角形abc是等边三角形,D点是AC的中点,延长BC到E,使得CE=CD.求证BM=EM 如图,在△ABC的两边AB,AC为边向外做两个等边△ABD与△ACE,M.N.P分别是CE.BD.BC的中点,求证PM= 三角形ABC中,AD是BC边上的中线,M是AD的中点,BM延长线交AC于N,求证：AN=2份之一CN 三角形ABC是等边三角形,D、E分别是AC、BC上的点.BD、AE交于点N,BM⊥AE于M若AD=CE,求证MN=&fr 如图,三角形abc为等腰三角形,ac=bc,三角形bcd和三角形ace分别为等边三角形,求证g是ab中点.求两种方法如图,bd和ce是三角形abc的两条高线,m为bc边的中点,mn垂直于de于n,求证：en=dn 已知BD,CE是三角形ABC的两条高,M,N分别是BC,DE的中点.欺骗、求证:(1)EM=DM (2)MN⊥DE