已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为e=(√3)/2,且过点（√3,1/2）

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/15 09:33:23

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为e=(√3)/2,且过点（√3,1/2）
（1）求椭圆的方程
（2）设直线l：y=kx+m（k≠0,m＞0）与椭圆交于P,Q两点,且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1,0）,求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程.
第二问说说思路就可以了

(1) 由已知,e = c/a = √3/2 ==> c = a√3/2
∴ b = a/2
将b = a/2,及点（√3,1/2）代入椭圆方程得：
3/a² + (1/4)/(a/2)² =1
解得：a = 2；
∴ b = a/2 =1,椭圆方程为
x² /4 + y² =1；
(2) 设P,Q坐标为：P(x1,y1),Q(x2,y2),则P Q坐标满足方程组
y = kx + m --- ①
x² /4 + y² =1； --- ②
将①代入②整理得：
(k² +1/4)x² + 2kmx +(m²-1) = 0；
可得：x1 + x2 = 2km/(k² +1/4)；x1*x2 = (m²-1)/(k² +1/4)；
==> (x1- x2)² = (x1+x2)² -4x1*x2 =(4k²m²-4m²+4) /(k² +1/4)²；
==> |x1-x2| = 2√(k²m²-m²+1) /(k² +1/4)
从而：y1 + y2 = k(x1+x2) + 2m = m(4k² +1/2)/(k² +1/4)
∴ 菱形对角线交点坐标为：
x* = (x1 + x2)/2 = 4km/(4k² +1)
y* = (y1 + y2)/2 = m(8k² +1)/(4k² +1)
菱形对角线互相垂直,则另一条对角线斜率为-1/k,过点(-1,0),方程为：
y = (-1/k)(x+1) ==> x +ky +1 = 0
则(x*,y*) 是交点,也满足该方程,代入并整理得：
km(8k² + 5) + 4k² +1= 0 ==> m = -(4k² +1)/ [k(8k² + 5)]
直线y=kx + m在x轴截距 x0 = -m/k
SΔOPQ = 1/2 |x0|*|y1| + 1/2|x0|*|y2|
= 1/2 |x0|*|y1-y2|
= 1/2 |-m/k|*|k(x1-x2)|
= 1/2*|m|* 2√(k²m²-m²+1) /(k² +1/4)
= |m|*√(k²m²-m²+1) /(k² +1/4)
将 m = -(4k² +1)/ [k(8k² + 5)]代入可以计算三角形面积的极大值,确定k,进而确定m;
(算式太复杂了,算不下去了)

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆e:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,且过点（√3, 已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,且过P(1,3/2),F为其右焦点设过A点高中数学已知椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率e=√3/2焦点到椭圆上点的最已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为e=√3/2,且过点（√3,1/2）.（1）求椭圆C的标准已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1过点M(0,2),离心率e=根号6/3 求椭圆方程已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为根号3/2,且过点M（4,1）直线l：y=x+m教育椭圆A,B两不同点已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为1/2,右焦点F,且椭圆E上的点到点F的距离的最小已知椭圆C:x^2+y^2/m=1的焦点在y轴上,且离心率为根号3/2,过点(0,3)的直线l与椭圆C交与两点A,B. 已知点A（0,-2）椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为（根号3）/2 ,F是椭圆E的右焦椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率e=1/2,且过点P(1,3/2) （1）求椭圆C的方程（2）若斜率已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为(√3)/2,过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为√6/3,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C