已知：在△ABC中，∠C=90°，BC=AC．

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/21 15:27:17

已知：在△ABC中，∠C=90°，BC=AC．
（1）如图（1），若点D、E分别在BC、AC边上，且CD=CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直角三角形；
（2）将图（1）中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图（2），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成立，并说明理由；
（3）如图（3），若BC=AC=4，CD=CE=2，将图（1）中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转角为α（0°＜a＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，求在整个旋转过程中线段MN的最大值，并写出此时a的度数．

（1）∵BC=AC，CD=CE，
∴BD=AE，
∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点，
∴OM∥BD且OM=
1
2BD，ON∥AE且ON=
1
2AE，
∴OM=ON，∠AOM=∠ABD=45°，∠BON=∠BAE=45°，
∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）
=180°-（45°+45°）=90°
∴△OMN是等腰直角三角形．

（2）如图2，连接AE、BD，
∵△CDE顺时针旋转90°，
∴∠ACE=∠ACB=90°，
在△BCD和△ACE中，

BC＝AC
∠ACE＝∠ACB＝90°
CD＝CE，

∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠CBD=∠CAE，
∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点，
∴OM∥BD且OM=
1
2BD，ON∥AE且ON=
1
2AE，
∴OM=ON，∠AOM=∠ABD，∠BON=∠BAE，
∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）=180°-（∠ABD+∠BAE）
=180°-（∠ABD+∠CBD+∠BAC）=180°-（∠ABC+∠BAC），
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠MON=180°-90°=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．

（3）如图，连接AE、BD，由（2）同理可证△OMN为等腰直角三角形．
∴MN=
2OM．
又∵OM=
1
2BD，
∴MN=

2
2BD，
∴当BD最大时线段MN最大，显然，当△CDE绕着点C顺时针旋转180°，即α=180°时，
BD_最大=4+2=6，则MN_最大=

2
2×6=3
2．

在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4 如图,已知在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠A的平分线.求证：AC+CD=AB 已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=200cm,AC/AB=9/41,求AC,AB的长在△ABC中,∠D=90°,C是BC上一点,已知BC=9,AB=17,AC=10,求AD 如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是______．在△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB边上的高为______．已知:如图,在Rt△ABC中,角C=90°,BC=4 AC=8急! 在Rt△ABC中,已知角C=90°,AC=3cm,BC=4cm 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．求证：M 在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠B=90°．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以AC上一点O为圆心的⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点D．