已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1经过点P(根号6/2,1/2),离心率是根号2/2,动点M(2,t)(t>0)
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 16:17:59
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1经过点P(根号6/2,1/2),离心率是根号2/2,动点M(2,t)(t>0)
(1)求椭圆的标准方程(2)求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,证明线段ON的长为定值,并求出这个定值
(1)求椭圆的标准方程(2)求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,证明线段ON的长为定值,并求出这个定值
∵椭圆x²/a²+y²/b²=1离心率是√2/2,c/a=√2/2 c²=a²/2=a²-b²
∴a²=2b²
∴椭圆方程可设为x²/4k²+y²/2k²=1,把点P(√6/2,1/2)代入,得
(6/4)/4k²+(1/4)/2k²=1,
解得,k²=1/2
∴椭圆的标准方程是 x²/2+y²=1.
(2)依题意,O(0,0)M(2,t)
所以OM为直径的圆的圆心是(1,t/2),从而半径r为:√(1+t²/4)
∵圆心(1,t/2)到直线3x-4y-5=0的距离d为|3-2t-5|/5
∵圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2,弦长的一半1,距离d和半径组成的直角三角形种,
勾股定理 d²+1²=r²
∴d=√(r²-1)=√[(1+t²/4)-1]=t/2
∴|3-2t-5|/5=t/2 (t>0)
解得t=4
圆心(1,t/2)=(1,2) 半径√(1+t²/4)=√5
∴所求圆的方程是(x-1)²+(y-2)²=5.
(3)F(1,0),设N(x0,y0),
则向量ON=(x0,y0),向量OM=(2,t),向量FN=(x0-1,y0),向量MN=(x0-2,y0-t)
∵向量FN⊥向量OM
∴2(x0-1)+ty0=0
化简得 2x0+ty0=2 ⑧
∵∠ONM=90º
∴向量MN⊥向量ON
∴x0(x0-2)+y0(y0-t)=0 化简得 x0²+y0²=2x0+ty0=2 (由⑧得)
∴|向量ON|=√(x0²﹢y0²)=√2
ON=√2
∴a²=2b²
∴椭圆方程可设为x²/4k²+y²/2k²=1,把点P(√6/2,1/2)代入,得
(6/4)/4k²+(1/4)/2k²=1,
解得,k²=1/2
∴椭圆的标准方程是 x²/2+y²=1.
(2)依题意,O(0,0)M(2,t)
所以OM为直径的圆的圆心是(1,t/2),从而半径r为:√(1+t²/4)
∵圆心(1,t/2)到直线3x-4y-5=0的距离d为|3-2t-5|/5
∵圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2,弦长的一半1,距离d和半径组成的直角三角形种,
勾股定理 d²+1²=r²
∴d=√(r²-1)=√[(1+t²/4)-1]=t/2
∴|3-2t-5|/5=t/2 (t>0)
解得t=4
圆心(1,t/2)=(1,2) 半径√(1+t²/4)=√5
∴所求圆的方程是(x-1)²+(y-2)²=5.
(3)F(1,0),设N(x0,y0),
则向量ON=(x0,y0),向量OM=(2,t),向量FN=(x0-1,y0),向量MN=(x0-2,y0-t)
∵向量FN⊥向量OM
∴2(x0-1)+ty0=0
化简得 2x0+ty0=2 ⑧
∵∠ONM=90º
∴向量MN⊥向量ON
∴x0(x0-2)+y0(y0-t)=0 化简得 x0²+y0²=2x0+ty0=2 (由⑧得)
∴|向量ON|=√(x0²﹢y0²)=√2
ON=√2
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1过点M(0,2),离心率e=根号6/3 求椭圆方程
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,点P(根号5/5 a,根号2/2 a)在椭圆上(1)求椭圆的离心率;
椭圆x²/a²+y²/b²=1 a>b>0的离心率是根号2/2且线过点(根号2,
已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率是根号3/2,以椭圆C的左顶点T作圆T:(x+
已知椭圆的离心率为根号3/2,直线y=1/2x+1与椭圆交于A,B两点,点M在椭圆上,OM=1/2OA+根号3/2ob,
已知点p(3.4)是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)上的一点,离心率=3分之根号5,F1 F2为椭
已知点A(0,-2)椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为(根号3)/2 ,F是椭圆E的右焦
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为根号3/2,且过点M(4,1)直线l:y=x+m教育椭圆A,B两不同点
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为3分之根号6,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与
已知椭圆C:x^2+y^2/m=1的焦点在y轴上,且离心率为根号3/2,过点(0,3)的直线l与椭圆C交与两点A,B.
设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=根号2/2,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆c的
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>c)经过点(0,1),离心率e=根号3/2,求C的方程