（2014•江西样卷）【数学思考】

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/14 05:29:27

（2014•江西样卷）【数学思考】
如图1，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

【问题解决】
如图2，过点B作BB′⊥l₂，且BB'等于河宽，连接AB′交l₁于点M，作MN⊥l₁交l₂于点N，则MN就为桥所在的位置．
【类比联想】
（1）如图3，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求证：AF=EG．
（2）如图4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，设y=

（1）证明：如图3，过点作DH⊥AF交AB于点H，则有∠1+∠2=90°．
∵GE⊥AF，
∴DH∥GE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠3+∠2=90°，BA=AE，DG∥HE，
∴∠3=∠1，四边形DGEH是平行四边形．
∴DH=GE，
在△ABF与△DAH中，
∵

∠3=∠1
AB=AD
∠B=∠DAH
∴△ABF≌△DAH，
∴DH=AF，
∴AF=GE；

（2）作DM∥GE交AB于点M，作AN∥HF交BC于点N（如图4）．
∵EG⊥HF，易得DM⊥AN，
∴∠1+∠2=90°．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠1，且四边形ANFH及四边形MEGD均为平行四边形，
∴AN=HF，DM=EG．
∵∠3=∠1，∠B=∠MAD=90°，
∴△ABN∽△DAM，
∴
AN
DM=
HF
EG=
AB
DA=
AB
BC，即y=
2
x；

（3）∵CO=4-a，DO=3+b．
∴Rt△DOC中，DC²=（4-a）²+（3+b）²，即（4-a）²+（3+b）²=5²．
当a=b时，有（4-a）²+（3+a）²=25，解得a=1或a=0（不合）．
故答案为：1；

（4）当0＜a＜1时，a＜b．理由如下：
如图5，过点B作DC的平行线，过点C作OF的平行线，两线交于点P，连接AP．
∵CD∥BP，PC∥OF，
∴DBPC为平行四边形，
∴BP=DC，CP=BD．又AB=DC，∴BP=AB．
∴∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．
若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，
∵∠1＞∠2，
∴∠3＜∠4．
又∵∠5=∠4，
∴∠3＜∠5．
∵Rt△ABO中，sin∠3=
OB
AB=
3
5；同理sin∠5=
OC
CD=
4-a
5，
∴
4-a
5＞
3
5，即0＜a＜1．

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