百度作业网初三数学（好的加100分）
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/27 04:52:19
初三数学（好的加100分）
如图,在等边三角形ABC中,G、H分别为AB、AC边的中点,D为GH上任一点,BD、CD的延长线交AC、AB于E、F,求证1/EC+1/BF=3/BC
如图,在等边三角形ABC中,G、H分别为AB、AC边的中点,D为GH上任一点,BD、CD的延长线交AC、AB于E、F,求证1/EC+1/BF=3/BC
因为G、H分别为AB、AC边的中点
所以GH//BC且GH=BC/2
因为GH//BC
所以∠FGD=∠FBC,∠FDG=∠FCB（同位角相等）
所以△FGD相似于△FBC
则有GF/BF=GD/BC
由于GF=BF-BG=BF-AB/2=BF-BC/2
所以GD=BC*(BF-BC/2)/BF=BC*(1-BC/(2BF))
又因为GH//BC
所以∠EHD=∠ECB,∠EDH=∠EBC（同位角相等）
所以△EHD相似于△ECB
则有EH/EC=HD/BC
由于EH=EC-HC=EC-AC/2=EC-BC/2
所以HD=BC*(EC-BC/2)/EC=BC*(1-BC/(2EC))
又因为GH=BC/2=GD+HD=BC*(1-BC/(2BF))+BC*(1-BC/(2EC))
化简得1=2-BC/BF+2-BC/EC
BC/BF+BC/EC=3
1/EC+1/BF=3/BC
所以GH//BC且GH=BC/2
因为GH//BC
所以∠FGD=∠FBC,∠FDG=∠FCB（同位角相等）
所以△FGD相似于△FBC
则有GF/BF=GD/BC
由于GF=BF-BG=BF-AB/2=BF-BC/2
所以GD=BC*(BF-BC/2)/BF=BC*(1-BC/(2BF))
又因为GH//BC
所以∠EHD=∠ECB,∠EDH=∠EBC（同位角相等）
所以△EHD相似于△ECB
则有EH/EC=HD/BC
由于EH=EC-HC=EC-AC/2=EC-BC/2
所以HD=BC*(EC-BC/2)/EC=BC*(1-BC/(2EC))
又因为GH=BC/2=GD+HD=BC*(1-BC/(2BF))+BC*(1-BC/(2EC))
化简得1=2-BC/BF+2-BC/EC
BC/BF+BC/EC=3
1/EC+1/BF=3/BC
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