已知圆C：（x-2）2+（y-4）2=4，直线l1过原点O（0，0）．

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/15 03:21:09

已知圆C：（x-2）²+（y-4）²=4，直线l₁过原点O（0，0）．
（1）若l₁与圆C相切，求l₁的方程；
（2）若l₁与圆C相交于不同两点P、Q，线段PQ的中点为M，又l₁与l₂：x+2y+1=0的交点为N，求证：OM•ON为定值；
（3）求问题（2）中线段MN长的取值范围．

（1）分情况讨论可得，①若直线l₁的斜率不存在，即直线是x=0，符合题意．（2分）
②若直线l₁斜率存在，设直线l₁为y=kx，即kx-y=0．
由题意知，圆心（2，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，
即：
|2k−4|

k2+1＝2解之得k＝
3
4．所求直线方程是 x=0，或3x-4y=0．（5分）
（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y=0，
由

x+2y+1＝0
kx−y＝0，得 N(−
1
2k+1，−
k
2k+1)，∴ON=

1
(2k+1)2+
k2
(2k+1)2=

1+k2
|2k+1|．
又直线CM与l₁垂直，由

y＝kx
y−4＝−
1
k(x−2)，得 M(
4k+2
1+k2，
4k2+2k
1+k2)，
∴OM=

[2(2k+1)]2
(1+k2)2+
[2k(2k+1)]2
(1+k2)2=
|2k+1|×2×
1+k2
1+k2，
∴OM•ON＝
1+k2|
1
2k+1|•
1+k2|
4k+2
k2+1|=2为定值．（11分）
（3）由OM•ON=2，设OM=x，则x∈(4，2
5]，ON=
2
x，
（当OM为圆的切线时，长度最短等于4；当M为圆心时，OM的长度最长等于2
5），
再由MN=OM-ON=x−
2
x在(4，2
5]上单调递增，所以，MN∈(
7
2，
9
5
5]．（16分）

已知点P是圆C:x^2+y^2-6x-8y+21=0上一个动点,O为原点坐标,直线l1:x+y+1=0 求过点P作直线l 已知两条直线l1:x-y+4=0与l2:2x+y+2=0的交点P,满足下列条件的直线方程.（1）过点P且过原点的直线方程已知圆C：（x-3）+（y-4）=4,直线l1过定点A（1,0）（1）若l1与圆相切,求l1的方程（2）若l1与圆相交于已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0 直线L1过点P（2,0）,被圆C截得的弦长为4√2,求直线L1的方程已知直线l:y=x+b 与圆C:x方+y方-2x+4y-4=0交于AB两点,O为坐标原点. （1）若以AB为直径的圆过原已知圆C:(x-3)²+（y-4)²=4直线l1过定点A（1,0） 1.若l1与圆小妾,求l1的方程已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)顶点(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P（x,y）向知直线y=5/4作垂线, 已知圆c（x-3)2+(y-4)2=4,直线L1过定点A（1,0）,1若L1与圆相切,求L1的方程已知圆c的圆心在直线L1：y=x/2上,圆c与直线x-2y-4√5=0相切,并且过（2,5）,求圆c的方程已知圆O的方程为x^2+y^2=1,直线L1过点A（3,0）且与圆O相切已知圆O的方程为x^2+y^2=1,直线L1过点A（3,0）且于圆O相切. 已知圆C：（x-3）^2+(y-4）^2=4,直线l1过定点A（1,0）