百度作业网数列,3a(n)-2a(n)a(n+1)+a(n+1)=2,a(1)=2,求a(n)
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/12 22:09:48
数列,3a(n)-2a(n)a(n+1)+a(n+1)=2,a(1)=2,求a(n)
问题补充：a(n)=2n/2n-1,但要过程 ,不可以代入数值
问题补充：a(n)=2n/2n-1,但要过程 ,不可以代入数值
答：
设a(n)=b(n)+c,c为代定常数,代入等式,有
3[b(n)+c]-2[b(n)+c][b(n+1)+c]+b(n+1)+c=2.
整理得到
-2b(n)b(n+1)+(3-2c)b(n)+(1-2c)b(n+1)+4c-2c^2-2=0.
令常数项
4c-2c^2-2=0.
2(c-1)^2=0.
c=1.
所以设
a(n)=b(n)+1,则b1=a(1)-1=1,a(n)=b(n)+1代入原式有
-2b(n)b(n+1)+bn-b(n+1)=0.
同除以b(n)b(n+1)
1/b(n+1)-1/b(n)=2.
1/b(1)=1,
所以{1/b(n)}是以1为首项,公差为2的等差数列.
所以
1/b(n)=2(n-1)+1/b(1)=2n-1.
所以
b(n)=1/(2n-1).
a(n)=b(n)+1=1/(2n-1)+1=2n/(2n-1).
设a(n)=b(n)+c,c为代定常数,代入等式,有
3[b(n)+c]-2[b(n)+c][b(n+1)+c]+b(n+1)+c=2.
整理得到
-2b(n)b(n+1)+(3-2c)b(n)+(1-2c)b(n+1)+4c-2c^2-2=0.
令常数项
4c-2c^2-2=0.
2(c-1)^2=0.
c=1.
所以设
a(n)=b(n)+1,则b1=a(1)-1=1,a(n)=b(n)+1代入原式有
-2b(n)b(n+1)+bn-b(n+1)=0.
同除以b(n)b(n+1)
1/b(n+1)-1/b(n)=2.
1/b(1)=1,
所以{1/b(n)}是以1为首项,公差为2的等差数列.
所以
1/b(n)=2(n-1)+1/b(1)=2n-1.
所以
b(n)=1/(2n-1).
a(n)=b(n)+1=1/(2n-1)+1=2n/(2n-1).
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