百度作业网微积分,微分方程,求大神
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/06 01:37:49
微积分,微分方程,求大神
首先建立微分方程：f '' － f ＝ x
于是有：f '' － f ' + ( f ' － f ) ＝ x
令 u ＝ f ' － f 进行换元得到：
u ' + u ＝ x
配方后得到：( u e^x ) ' ＝x e^x
解得：u e^x ＝ x e^x － e^x + C
于是有：( f ' － f ) e^x ＝ x e^x － e^x + C
将x=0代入后：( 2 －1) 1 ＝ 0 － 1 + C,得到：C＝2
继续解方程：( f ' － f ) e^x ＝ x e^x － e^x + 2
再次配方：[ f * (e^-x) ] ' e^2x ＝x e^x － e^x + 2
得到：[ f * (e^-x) ] ' ＝x e^-x － e^-x + 2e^-2x
解得：f *(e^-x) ＝ －x e^-x － e^-2x + C
将x=0代入后：1*1 ＝ 0－1 + C 解得 C＝2
故有：f *(e^-x) ＝ －x e^-x － e^-2x + 2
因此：f(x) ＝ －x － e^(-x) + 2e^x
注：第一步也可以根据常系数微分方程的通解公式解特征方程直接得到方程的通
微分方程：f '' － f ＝ x
其特征方程为：λ^2－1＝0,解得：λ1＝－1、λ2＝1.
方程的一个特解为 f ＝ －x
因此其通解为 f(x)＝－x + C1 e^(-x) + C2 e^x
剩下的就是确定系数C1和C2了.
再问： 为什么这题不能用非齐次去解
于是有：f '' － f ' + ( f ' － f ) ＝ x
令 u ＝ f ' － f 进行换元得到：
u ' + u ＝ x
配方后得到：( u e^x ) ' ＝x e^x
解得：u e^x ＝ x e^x － e^x + C
于是有：( f ' － f ) e^x ＝ x e^x － e^x + C
将x=0代入后：( 2 －1) 1 ＝ 0 － 1 + C,得到：C＝2
继续解方程：( f ' － f ) e^x ＝ x e^x － e^x + 2
再次配方：[ f * (e^-x) ] ' e^2x ＝x e^x － e^x + 2
得到：[ f * (e^-x) ] ' ＝x e^-x － e^-x + 2e^-2x
解得：f *(e^-x) ＝ －x e^-x － e^-2x + C
将x=0代入后：1*1 ＝ 0－1 + C 解得 C＝2
故有：f *(e^-x) ＝ －x e^-x － e^-2x + 2
因此：f(x) ＝ －x － e^(-x) + 2e^x
注：第一步也可以根据常系数微分方程的通解公式解特征方程直接得到方程的通
微分方程：f '' － f ＝ x
其特征方程为：λ^2－1＝0,解得：λ1＝－1、λ2＝1.
方程的一个特解为 f ＝ －x
因此其通解为 f(x)＝－x + C1 e^(-x) + C2 e^x
剩下的就是确定系数C1和C2了.
再问： 为什么这题不能用非齐次去解