柯西不等式的题目,答案是5倍根号5

柯西不等式的题目,答案是5倍根号5
 

常规做法是求导找到极值点x=2,代入即得到5√5.非要用Cauchy不等式可以如下做(不推荐).
先画个图,x是从实轴上选个点,使它到(1,2)距离的两倍加上它到(8,3)的距离最小.
从图上很容易看出,这个x一定在区间(1,8)内.
对任意正数a,b,由Cauchy不等式有
[(x-1)^2+4](a^2+b^2)>=[a(x-1)+2b]^2.(1)
对任意正数c,d,由Cauchy不等式有
[(x-8)^2+9](c^2+d^2)>=[c(8-x)+3d]^2.(2)
联立(1)(2)得到
y>=[a(x-1)+2b]/√(a^2+b^2)+[c(8-x)+3d]/√(c^2+d^2).(3)
我们希望取abcd使(3)的右边与x无关,(4)
并且使存在区间(1,8)内的某x满足(1)(2)的等号.(5)
(4)成立当且仅当a/√(a^2+b^2)=c/√(c^2+d^2).(6)
(5)要成立的话,根据Cauchy不等式取等号的条件,当且仅当
(x-1)/a=2/b 且 (8-x)/c=3/d.(7)
消去x得到2a/b+3c/d=7.(8)
注意到联立(6)(8)是2个方程4个未知数,所以我们可以对abcd中的任意2个任意取定值.
为了计算方便,我们观察(8)可以取b=2,d=3.从而(8)变成a+c=7.(9)
现在联立(6)(9),容易看出有一个解(a,c)=(1,6).
(如果看不出,就用消元法得到一个4次方程,那时再通过观察看出上面这个解.
这一步是原问题的本质,也就是求导算出极值点x=2的本质.求导同样会遇到4次方程.)
由(7)解出x=2,它恰好在区间(1,8)内.所以把x=2代入y得到的5√5即为所求.毕.
再问： 联立1 2那里，我就看不懂了
再问： 不是有2倍吗？
再问： 后面全部看不懂，求解
再答： 不好意思, 你说的对, 应该有系数2, 我漏敲了. 计算过程一直有那个2. 检查了一下, 在式子(3)的y>=后面应该紧接一个因子2, 在式子(6)左边应该有因子2. 即: y>=2[a(x-1)+2b]/√(a^2+b^2)+[c(8-x)+3d]/√(c^2+d^2). (3) ... (4)成立当且仅当2a/√(a^2+b^2)=c/√(c^2+d^2). (6) 看看哪步还不清楚?
再问： 第四步当且仅当看不懂
再答： "我们希望取abcd使(3)的右边与x无关, (4)" 就是取合适的abcd使得(3)中x的系数为0. 也就是式子(6).
再问： 为什么:(4)成立当且仅当2a/√(a^2+b^2)=c/√(c^2+d^2). 这是什么公式？
再问： 主要这里看不懂
再答： 这是令（3）中x的系数等于0，从而（3）跟x无关。
再问： 还是不太懂，能分部写写么？
再问： 令(3)的x系数为0，不就是a=c=0了么？
再问： 怎么可能会: 2a/√(a^2+b^2)=c/√(c^2+d^2). 呢？？
再答： (3)右边是一个关于x的一次多项式, 其一次项系数是 2a/√(a^2+b^2)-c/√(c^2+d^2).
再问： 貌似还是不太懂
再问： 有没更好的解释方法？