百度作业网一道解析几何求轨迹的问题
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/16 22:52:08
一道解析几何求轨迹的问题
已知椭圆 x^2 / 4 + y^2 / 3 = 1
的内接三角形ABC边AB、AC分别过左右焦点F1、F2.
椭圆左右顶点分别为D、E.
直线DB与直线EC交于P.
当A在椭圆上运动时,求P点轨迹方程.
已知椭圆 x^2 / 4 + y^2 / 3 = 1
的内接三角形ABC边AB、AC分别过左右焦点F1、F2.
椭圆左右顶点分别为D、E.
直线DB与直线EC交于P.
当A在椭圆上运动时,求P点轨迹方程.
这个题目如果死算的话,计算量非常惊人,基本算不出来.
利用椭圆的第二定义可以让问题简单很多,不会遇到二元一次方程.避免直接计算椭圆和直线交点坐标带来的麻烦.
设A(xa,ya）B(xb,yb）C(xc,yc）P(xp,yp）
椭圆中a=2,c=1,e=1/2
根据第二定义有|AF1|=1/2（xa+4）,|AF2|=1/2(4-xa）,|BF1|=1/2(xb+4）,|CF2|=1/2(4-xc）
|AF1|/|BF1|=(xa+4）/(xb+4)=(xa+1)/(-1-xb)=-ya/yb （斜边比=两直角边比）
|AF2|/|CF2|=(4-xa）/(4-xc)=(1-xa)/(xc-1)=-ya/yc
解得 xb=-（5xa+8）/(2xa+5),yb=-3ya/(2xa+5)
xc=(5xa-8）/(2xa-5),yc=3ya/(2xa-5)
因为D(-2,0)E(2,0)
yp/(xp+2)=yb/(xb+2)=3ya/(xa-2)
yp/(xp-2)=yc/(xc-2)=3ya/(xa+2)
上两式可解得 xp=-xa,yp=-3xa
因为点A在椭圆上,有xa^2/4+ya^2/3=1
所以有
（-xp）^2/4+(-1/3yp)^2/3=1
整理下得 xp^2/4+yp^2/27=1
即P点轨迹为x^2/4+y^2/27=1
利用椭圆的第二定义可以让问题简单很多,不会遇到二元一次方程.避免直接计算椭圆和直线交点坐标带来的麻烦.
设A(xa,ya）B(xb,yb）C(xc,yc）P(xp,yp）
椭圆中a=2,c=1,e=1/2
根据第二定义有|AF1|=1/2（xa+4）,|AF2|=1/2(4-xa）,|BF1|=1/2(xb+4）,|CF2|=1/2(4-xc）
|AF1|/|BF1|=(xa+4）/(xb+4)=(xa+1)/(-1-xb)=-ya/yb （斜边比=两直角边比）
|AF2|/|CF2|=(4-xa）/(4-xc)=(1-xa)/(xc-1)=-ya/yc
解得 xb=-（5xa+8）/(2xa+5),yb=-3ya/(2xa+5)
xc=(5xa-8）/(2xa-5),yc=3ya/(2xa-5)
因为D(-2,0)E(2,0)
yp/(xp+2)=yb/(xb+2)=3ya/(xa-2)
yp/(xp-2)=yc/(xc-2)=3ya/(xa+2)
上两式可解得 xp=-xa,yp=-3xa
因为点A在椭圆上,有xa^2/4+ya^2/3=1
所以有
（-xp）^2/4+(-1/3yp)^2/3=1
整理下得 xp^2/4+yp^2/27=1
即P点轨迹为x^2/4+y^2/27=1