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∫(x,1)(1/1+s^2)ds=∫(1,1/x)(1/1+s^2)ds,(x>0)

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/23 17:23:33
∫(x,1)(1/1+s^2)ds=∫(1,1/x)(1/1+s^2)ds,(x>0)
求证上述等式
∫(x,1)(1/1+s^2)ds=∫(1,1/x)(1/1+s^2)ds,(x>0)
证明:【x,1】∫[1/(1+s²)]ds=【1,1/x】∫[1/(1+s²)]ds,(x>0)
证明:左边=arctans【x,1】=(π/4)-arctanx.(1);
右边=arctans【1,1/x】=arctan(1/x)-(π/4).(2)
由于tan[(π/4)-arctanx]=[tan(π/4)-tan(arctanx)]/[1+tan(π/4)tan(arctanx)]=(1-x)/(1+x)
tan[arctan(1/x)-(π/4)]=[tanarctan(1/x)-tan(π/4)]/[1+tanarctan(1/x)tan(π/4)]=[(1/x)-1]/[1+(1/x)]
=(1-x)/(1+x).
∴tan[(π/4)-arctanx]=tan[arctan(1/x)-(π/4)];∴(π/4)-arctanx=arctan(1/x)-(π/4);
∴原等式成立.