百度作业网用推倒样式来做几何体！
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 12:59:23
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AA1，且AB⊥BC，D为AC的中点。 ①求证：AB1∥面BDC1 ②求证A1C⊥面BDC1 ③是否存在一个球，使A,B,C,A1，B1，C1都在这个球面上，若存在找出球心位置，并证明；若不存在，说明理由。
解题思路： 第一问利用平行判定定理； 第二问，需要用到平面几何（直角三角形相似）证明垂直； 第三问说明到六个顶点的距离相等。
解题过程：
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AA1，且AB⊥BC，D为AC的中点。 ①求证：AB1∥面BDC1 ②求证A1C⊥面BDC1 ③是否存在一个球，使A,B,C,A1，B1，C1都在这个球面上，若存在找出球心位置，并证明；若不存在，说明理由。
解：① 连接B1D与BC1交于点O，则 O是B1C的中点， 又∵ D是AC的中点， ∴ 由中位线性质，DO // AB1， 而 DO在平面BDC1内， AB1不在平面BDC1内， ∴ AB1 // BDC1（证毕）； ② ∵ △ABC是等腰直角三角形，D是斜边AC的中点，∴ BD⊥AC， ∵ 是直三棱柱，∴ 平面ABC⊥侧面ACC1A1，交线为AC， ∴ BD⊥平面ACC1A1， ∴ BD⊥A1C， 由已知，AB＝BC＝AA1，∠ABC为直角，可得 AC＝
， 在侧面ACC1A1中（右图），有 
， 可知 △A1AC ∽ △DCC1， ∴ ∠ACA1＝∠CC1D， ∴ C1D⊥A1C， ∴ A1C⊥平面BDC1（证毕）； ③ 在平面ABC内，∵ B是直角， ∴ △ABC的外心是斜边中点D， 过D作平面ABC的垂线，则垂线上任何一点到A、B、C的距离相等， 这条垂线上的任何一点到A1、B1、C1的距离也相等， 欲使 此点到这三棱柱的六个顶点的距离都相等， 需且只需 此点为侧面ACC1A1的中心M，（证明如下）： 取侧面ACC1A1的中心M，则 MD⊥平面ABC， ∵ D到A、B、C距离相等， ∴ M到A、B、C距离相等， 同理，M到A1、B1、C1的距离也相等，而显然又有MA＝MA1， ∴ M点到六个顶点的距离都相等， ∴ M是三棱柱的外接球球心。 同学你好，如对解答还有疑问，可在答案下方的【添加讨论】中留言，我收到后会尽快给你答复。感谢你的配合！祝你学习进步，生活愉快 .
最终答案：略
解题过程：
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AA1，且AB⊥BC，D为AC的中点。 ①求证：AB1∥面BDC1 ②求证A1C⊥面BDC1 ③是否存在一个球，使A,B,C,A1，B1，C1都在这个球面上，若存在找出球心位置，并证明；若不存在，说明理由。
解：① 连接B1D与BC1交于点O，则 O是B1C的中点， 又∵ D是AC的中点， ∴ 由中位线性质，DO // AB1， 而 DO在平面BDC1内， AB1不在平面BDC1内， ∴ AB1 // BDC1（证毕）； ② ∵ △ABC是等腰直角三角形，D是斜边AC的中点，∴ BD⊥AC， ∵ 是直三棱柱，∴ 平面ABC⊥侧面ACC1A1，交线为AC， ∴ BD⊥平面ACC1A1， ∴ BD⊥A1C， 由已知，AB＝BC＝AA1，∠ABC为直角，可得 AC＝， 在侧面ACC1A1中（右图），有 ， 可知 △A1AC ∽ △DCC1， ∴ ∠ACA1＝∠CC1D， ∴ C1D⊥A1C， ∴ A1C⊥平面BDC1（证毕）； ③ 在平面ABC内，∵ B是直角， ∴ △ABC的外心是斜边中点D， 过D作平面ABC的垂线，则垂线上任何一点到A、B、C的距离相等， 这条垂线上的任何一点到A1、B1、C1的距离也相等， 欲使 此点到这三棱柱的六个顶点的距离都相等， 需且只需 此点为侧面ACC1A1的中心M，（证明如下）： 取侧面ACC1A1的中心M，则 MD⊥平面ABC， ∵ D到A、B、C距离相等， ∴ M到A、B、C距离相等， 同理，M到A1、B1、C1的距离也相等，而显然又有MA＝MA1， ∴ M点到六个顶点的距离都相等， ∴ M是三棱柱的外接球球心。 同学你好，如对解答还有疑问，可在答案下方的【添加讨论】中留言，我收到后会尽快给你答复。感谢你的配合！祝你学习进步，生活愉快 . 最终答案：略