关于泰勒展式的一个问题.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/16 02:38:20
关于泰勒展式的一个问题.
f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,min[f(x)]=-1 (0≤x≤1).
求证 min[f''(x)] ≤ 1/8.
谢!
题目来源: 裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》(第二版)第245页。
f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,min[f(x)]=-1 (0≤x≤1).
求证 min[f''(x)] ≤ 1/8.
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题目来源: 裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》(第二版)第245页。
![关于泰勒展式的一个问题.](/uploads/image/z/20092132-28-2.jpg?t=%E5%85%B3%E4%BA%8E%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%B1%95%E5%BC%8F%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E9%97%AE%E9%A2%98.)
证明:
f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,min[f(x)] = - 1
∴ 最小值在 (0,1) 内取得,即存在 a ∈(0,1)使 f(a) = -1,且 f ‘(a)=0
将f(0),f(1)分别应用x=a处给出一阶Taylor展开:
f(0) = f(a) + f ‘(a) a + f ‘'(ξ) a² /2 = -1 + f ‘'(ξ) a² /2 (0
f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,min[f(x)] = - 1
∴ 最小值在 (0,1) 内取得,即存在 a ∈(0,1)使 f(a) = -1,且 f ‘(a)=0
将f(0),f(1)分别应用x=a处给出一阶Taylor展开:
f(0) = f(a) + f ‘(a) a + f ‘'(ξ) a² /2 = -1 + f ‘'(ξ) a² /2 (0