百度作业网焦点弦两部分倒数和,如何证明
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 23:08:15
焦点弦两部分倒数和,如何证明
过(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1的焦点F(c,0)作直线交抛物线于P,Q两点.PF=p,QF=q,求1/p+1/q的值.速求.感激不尽……
抱歉，由于本人的输入错误，我想说的是椭圆……椭圆，椭圆，椭圆……
过(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1的焦点F(c,0)作直线交抛物线于P,Q两点.PF=p,QF=q,求1/p+1/q的值.速求.感激不尽……
抱歉，由于本人的输入错误，我想说的是椭圆……椭圆，椭圆，椭圆……
(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1
即为：(b^2)(x^2)+(a^2)(y^2)=(a^2)(b^2) ①
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
由焦半径公式得
p=a-ex1,q=a-ex2
设PQ的斜率为k
由PQ过F(c,0)得PQ方程为
y=k(x-c)
代入①式得
(b^2)(x^2)+(a^2){[k(x-c)]^2}=(a^2)(b^2)
化简得
(b^2+a^2*k^2)x^2-2a^2*k^2*cx+a^2*c^2*k^2-a^2*b^2=0
由韦达定理
x1+x2=(2a^2*k^2*c)/(b^2+a^2*k^2),
x1x2=(a^2*c^2*k^2-a^2*b^2)/(b^2+a^2*k^2) ②
所以1/p+1/q=1/(a-ex1)+1/(a-ex2)
=[(a-ex1)+(a-ex2)]/(a-ex1)(a-ex2)
=[2a-e(x1+x2)]/[a^2-ae(x1+x2)+x1x2]
把②式代入上式化简即得
1/p+1/q=2a/(b^2)
PS:对于椭圆,双曲线,抛物线都有类似的公式
记焦准距为p=b^2/c
（注：为与抛物线的焦准距统一,均采用字母p表示,你前面提到的p,q现改成m,n）
则三种圆锥曲线的通径均可用2ep表示
三种圆锥曲线相应的都有1/m+1/n=2/(ep)
ex:此题中1/m+1/n=2/(ep)=2/[(c/a)*(b^2/c)]=2/[(b^2)/a]=2a/(b^2)
我回答的就是椭圆……椭圆,椭圆,椭圆……
即为：(b^2)(x^2)+(a^2)(y^2)=(a^2)(b^2) ①
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
由焦半径公式得
p=a-ex1,q=a-ex2
设PQ的斜率为k
由PQ过F(c,0)得PQ方程为
y=k(x-c)
代入①式得
(b^2)(x^2)+(a^2){[k(x-c)]^2}=(a^2)(b^2)
化简得
(b^2+a^2*k^2)x^2-2a^2*k^2*cx+a^2*c^2*k^2-a^2*b^2=0
由韦达定理
x1+x2=(2a^2*k^2*c)/(b^2+a^2*k^2),
x1x2=(a^2*c^2*k^2-a^2*b^2)/(b^2+a^2*k^2) ②
所以1/p+1/q=1/(a-ex1)+1/(a-ex2)
=[(a-ex1)+(a-ex2)]/(a-ex1)(a-ex2)
=[2a-e(x1+x2)]/[a^2-ae(x1+x2)+x1x2]
把②式代入上式化简即得
1/p+1/q=2a/(b^2)
PS:对于椭圆,双曲线,抛物线都有类似的公式
记焦准距为p=b^2/c
（注：为与抛物线的焦准距统一,均采用字母p表示,你前面提到的p,q现改成m,n）
则三种圆锥曲线的通径均可用2ep表示
三种圆锥曲线相应的都有1/m+1/n=2/(ep)
ex:此题中1/m+1/n=2/(ep)=2/[(c/a)*(b^2/c)]=2/[(b^2)/a]=2a/(b^2)
我回答的就是椭圆……椭圆,椭圆,椭圆……