（2013•扬州一模）在△ABC中，∠A=90°，BC=10，tan∠ABC=3：4，M是AB上的动点（不与A，B重合）

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/26 06:30:42

（2013•扬州一模）在△ABC中，∠A=90°，BC=10，tan∠ABC=3：4，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N，以AM、AN为邻边作矩形AMPN，其对角线交点为G．直线MP、NP分别与边BC相交于点E、F，设AP=x．
（1）求AB、AC的长；
（2）如图2，当点P落在BC上时，求x的值；
（3）当EF=5时，求x的值；
（4）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合部分的面积为y．试求y关于x的函数表达式，并求出y的最大值．

（1）在△ABC中，∵∠A=90°，
∴tan∠ABC=
AC
AB=3：4，AC²+AB²=BC²，
∴可设AC=3k，则AB=4k，
∵BC=10，
∴（3k）²+（4k）²=10²，
解得k=2，
∴AB=8，AC=6；

（2）∵四边形AMPN为矩形，
∴MN=AP=x，PN∥AM，
∵MN∥BC，
∴四边形BPNM是平行四边形，
∴BP=MN=x．
同理，CP=MN=x，
∵BP+CP=BC，
∴x+x=10，
解得x=5；

（3）分两种情况：
①如图1，∵四边形AMPN为矩形，
∴MN=AP=x，PN∥AM，
∵MN∥BC，
∴四边形BFNM是平行四边形，
∴BF=MN=x．
同理，CE=MN=x，
∵BF+EF+CE=BC，
∴x+5+x=10，
解得x=2.5；
②如图3，∵四边形AMPN为矩形，
∴MN=AP=x，PN∥AM，
∵MN∥BC，
∴四边形BFNM是平行四边形，
∴BF=MN=x，BE=BF-EF=x-5．
同理，CE=MN=x，
∵BE+CE=BC，
∴x-5+x=10，
解得x=7.5；
综上所述，所求x=2.5或7.5；

（4）在动点M的运动过程中，分两种情况：
①当0＜x≤5时，如图1，
在Rt△AMN中，∵∠MAN=90°，MN=AP=x，
∴AM=MN•cos∠AMN=MN•cos∠B=x•
8
10=
4
5x，
AN=MN•sin∠AMN=MN•sin∠B=x•
6
10=
3
5x，
∴y=S_△MNP=
1
2S_矩形AMPN=
1
2AM•AN=
1
2•
4
5x•
3
5x=
6
25x²，
当x=5时，y取最大值，此时y_最大=
6
25×5²=6；
②当5＜x＜10时，如图3，
y=S_△MNP-S_△PEF=
6
25x²-S_△PEF，
∵PE=PM-ME=AN-BM•tan∠B=
3
5x-（8-
4
5x）×
3
4=
6
5（x-5），
PF=PN-NF=AM-CN•tan∠C=
4
5x-（6-
3
5x）×
4
3=
8
5（x-5），
∴S_△PEF=
1
2PE•PF=
1
2×
6
5（x-5）×

（2013•扬州一模）在△ABC中，∠A=90°，BC=10，tan∠ABC=3：4，M是AB上的动点（不与A，B重合）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P为线段AB上的一个动点（可以与A、B重合），并作∠MP （2013•河西区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合）如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3、M是AB上的动点【不与A、B重合】、过点M作MN∥BC交AC于点N 已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM=CN．如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=1,P是AB边上不与A点、B点重合的任意一个动点,PQ⊥BC于Q,QR 如图,在三角形ABC中,角A=90度,AB=4,AC=3,M是边AB上的一个动点（M不与A、B）,MN//BC交AC于点如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D、E分别是AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合）,且保持DE‖BC, 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是AB边上一点,E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合）,DF⊥ 在三角行ABC中,角A=90度,AB=AC=1,点P是AB上不与点A、B重合的一个动点,PQ垂直BC与点Q,QR垂直AC 如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC上一个动点（不与B、C重合）,在AC上取E点,使∠ADE=