已知an=5n(n+1)(n+2)(n+3),求数列{an}的前n项和Sn

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 04:57:36

【方法1：强行展开a(n)表达式】
1+2+……+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+……+n^3=n^2(n+1)^2/4
1^4+2^4+……+n^4=n(15n^3+10n^2-1)/30,
然后再代入a(n)=n (n+1)(n+2)(n+3)的展开式中,a(n)展开后是：a(n)=5(n^4+6n^3+11n^2+6n),再代入运算.
【方法2：配项法】
因为an=(1/5)[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)]
令n=1,2,……,n得
a1=(1/5)(1*2*3*4*5)
a2=(1/5)(2*3*4*5*6-1*2*3*4*5)
a3=(1/5)(3*4*5*6*7-2*3*4*5*6)
……
an=(1/5)[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)]
上面n个式子相加得
Sn=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5
【方法3：组合数运算】
看到n(n+1)(n+2)(n+3)就想起是阶乘的一部分.
a(n)/4!=n(n+1)(n+2)(n+3)/4!
=组合数(n+3,4)
=(n+4,5)-(n+3,5)
=s(n)/4!-s(n-1)/4!
故s(n)=(n+4,5)*4!
=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5
【方法4：裂项法】
a(n)-a(n-1)=4n(n+1)(n+2)
a(n-1)-a(n-2)=4(n-1)n(n-2)
…………
…………
…………
a2-a1=4*2*3*4
a1 =4*3*2*1
叠加得
a(n)=4n(n+1)(n+2)
由此可设b(n)=5n(n+1)(n+2)(n+3)
同理：Sn=n(n+1)(n+2)(n+3)/5

已知an=5n(n+1)(n+2)(n+3),求数列{an}的前n项和Sn 已知数列{an}中,an=（2n+1）3n,求数列的前n项和Sn 已知数列{an}的前n项和Sn=1/3n(n+1)(n+2),试求数列(1/an)的前n项和已知数列an的前n项和Sn=(n^2+n)*3^n (1)求lim(n→∞)an/Sn (2). 已知数列(an)的前N项和SN=2N的平方减3N+1,求AN 已知数列AN的前N项和SN=2N^2-3N+1,求AN 已知数列 {an} 的前N项和为Sn=3n^2+2n-1 求an 已知数列{an}的前n项和为Sn=3n^2-5n/2(n属于N*) 已知数列an的前n项和Sn=3＋2^n,求an 已知数列AN的前N项和SN,SN=2N^2+3n+2,求an 已知数列{an}满足an=2n/3^n,求此数列的前n项和sn 已知数列an的前n项和Sn,求数列的通项公式.(1)Sn=3n²-n (2)Sn=2n+1