已知数列{an}满足：a1=3/2,且an=(3n·an-1)/(2an-1+n-1)(n≥2,n∈N*).（1）求数列

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/05 21:38:05

已知数列{an}满足：a1=3/2,且an=(3n·an-1)/(2an-1+n-1)(n≥2,n∈N*).（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明:不等式a1·a2·a3·····an

(1)an/n=3a(n-1)/(2a(n-1)+n-1)
倒数n/an=(2a(n-1)+n-1)/3a(n-1)=2/3+(n-1)/3a(n-1)
设n/an=bn,得bn=1/3b(n-1)+2/3
即bn-1=1/3(b(n-1)-1
所以{bn-1}为等比数列,首项b1-1=1/a1-1=-1/3
所以bn-1=-1/3^n
bn=1-3^n
an=n/bn=n*3^n/(3^n-1)
(2)即证明3/(3-1)*3^2/(3^2-1)*3*3/(3^3-1)*...*3^n/(3^n-1)1/2
使用放大的方法,先证明n∈N*时,有(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n)①
下面用数学归纳法证明
n=1时①式成立
假设n=k时成立,即
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)
则n=k+1时
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k) [1-1/3^(k+1)]>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)[1-1/3^(k+1)]
=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)-1/3^(k+1)+1/3^(k+1)(1/3+1/3^2+...1/3^k)
>=1-[1/3+1/3^2+...1/3^k+1/3^(k+1)] ①式成立
故由数学归纳法知①式对一切n∈N*均成立
∴(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n)
=1-(1/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
=1-(1/2)[1-(1/3)^n]
=1/2+1/2(1/3)^n
>1/2
即原式成立

已知数列{an}满足：a1=3/2,且an=(3n·an-1)/(2an-1+n-1)(n≥2,n∈N*).（1）求数列数列｛an｝满足a1=1,且an=an-1+3n-2,求an 已知数列{an}满足a1=312，且3an+1=an（n∈N*，n≥1）已知数列｛an｝满足a(n+1)=an+3n+2,且a1=2,求an=? 已知数列an满足a(n+1)=an+3n+2,且a1=2,求an 已知数列｛an｝中a1=6,且an-an-1=(an-1/n)+n+1(n属于N*,n≥2）,求an 已知数列{an}满足：a1=3,an+1=（3an-2）/an ,n∈N*．（Ⅰ）证明数列{(an-1)/an-2 已知数列{an}满足a1=1,an=(an-1)/3an-1+1,(n>=2,n属于N*),求数列{an}的通项公式在数列an中,a1=1,且满足a（n+1）=3an +2n,求an 数列{an}满足a1=1,an=3n+2an-1(n≥2)求an 已知数列{An}满足:A1=3 ,An+1=(3An-2)/An,n属于N*.1）证明：数列{（An--1）/（An-- 已知正项数列[an}满足:a1=3,(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n^2（n＞1,n∈N*）求数列{an