在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D,E分别为AB,AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC与点F,过点F作

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 16:24:21

在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D,E分别为AB,AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC与点F,过点F作FG⊥CD叫BE的延长线与点G,叫AC与点M,（1）求证：△EGM为等腰三角形.（2）判断线段BG,AF与FG的数量关系,并证明你的结论

∵△ABC为等腰直角三角形,
∴AC=AB,∠BAC=90°,
而AD=AE,
∴Rt△ABE≌Rt△ACD,
∴∠ABE=∠ACD；所以（1）正确．
∴∠BEA=∠ADC,
又∵GF⊥DC,
∴∠FMC+∠DCM=90°,
而∠ADC+∠DCM=90°,
∴∠AEB=∠FMC,
∴∠GEM=∠GME,
∴GE=GM,所以（2）正确．
过G作GN⊥BC交AF的延长于点N,连BN,如图,
∵∠6=90°﹣∠DCB,∠7=∠AFB=90°﹣∠2,
而∠1=∠4,
∴∠2=∠DCB,
∴∠6=∠7,
∴FC垂直平分GN,
∴FN=FG,且BN=BG,∠2=∠3,
又∵∠1+∠2+∠3=45°+∠2=45°+45°﹣∠1=90°﹣∠1,
∠BAN=90°﹣∠5,
而∠1=∠5,
∴∠1+∠2+∠3=∠BAN,
即∠ABN=∠BAN,
∴NA=NB,
∴BG=AN=AF+FN=AF+FG,所以（4）正确．
故答案为：（1）,（2）,（4）．