百度作业网正定矩阵证明
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 17:39:40
正定矩阵证明
正定的定义是：A是n阶实系数对称矩阵,如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n) 都有 X'AX>0,就称A正定矩阵
你的题目中说明除了x=0都不能使得Ax=0成立,也就是只有x=0才能使得AX=0,这不是说明只有零解吗
如果你没明白,就假设：存在x不等于0使得Ax=0成立,那么上面那个正定的表达式x'(AB+B'A)x=x'ABx+x'B'Ax=(Ax)'Bx+(Bx)'(Ax)=0就等于0了,不满足大于0的要求
AX=0只有零解,根据克拉姆法则系数A行列式不等0,所以可逆
再问：
再答： 思路：主要是想用线性方程组Ax=0的克拉姆法则来证明A的行列式不等于0，进而推出A可逆
通过：正定的表达式x'(AB+B'A)x=x'ABx+x'B'Ax=(Ax)'Bx+(Bx)'(Ax)>0
来得到：除了x=0都不能使得Ax=0成立，如果存在x不等于0使得Ax=0成立，那么上面那个正定的表达式就等于0了
如果还不明白，给你证个明白的吧
采用反证法：若A不可逆，A的行列式等于0
则存在非零向量x，使得Ax＝0，
对AB+B'A中左乘x'，右乘x，
得x'(AB+B'A)x=x'ABx+x'B'Ax=(Ax)'Bx+(Bx)'(Ax)=0，
这与AB+B'A正定,x不等于0，x'(AB+B'A)x>0矛盾。
再问： 非常感谢
再答： 教材里的概念定理都过过，别全靠复习全书
你的题目中说明除了x=0都不能使得Ax=0成立,也就是只有x=0才能使得AX=0,这不是说明只有零解吗
如果你没明白,就假设：存在x不等于0使得Ax=0成立,那么上面那个正定的表达式x'(AB+B'A)x=x'ABx+x'B'Ax=(Ax)'Bx+(Bx)'(Ax)=0就等于0了,不满足大于0的要求
AX=0只有零解,根据克拉姆法则系数A行列式不等0,所以可逆
再问：
再答： 思路：主要是想用线性方程组Ax=0的克拉姆法则来证明A的行列式不等于0，进而推出A可逆
通过：正定的表达式x'(AB+B'A)x=x'ABx+x'B'Ax=(Ax)'Bx+(Bx)'(Ax)>0
来得到：除了x=0都不能使得Ax=0成立，如果存在x不等于0使得Ax=0成立，那么上面那个正定的表达式就等于0了
如果还不明白，给你证个明白的吧
采用反证法：若A不可逆，A的行列式等于0
则存在非零向量x，使得Ax＝0，
对AB+B'A中左乘x'，右乘x，
得x'(AB+B'A)x=x'ABx+x'B'Ax=(Ax)'Bx+(Bx)'(Ax)=0，
这与AB+B'A正定,x不等于0，x'(AB+B'A)x>0矛盾。
再问： 非常感谢
再答： 教材里的概念定理都过过，别全靠复习全书