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P为正方形ABCD对角线BD上任一点,PF⊥DC,PE⊥BC.求证:AP⊥EF.

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/02 06:37:07
P为正方形ABCD对角线BD上任一点,PF⊥DC,PE⊥BC.求证:AP⊥EF.
P为正方形ABCD对角线BD上任一点,PF⊥DC,PE⊥BC.求证:AP⊥EF.
证明:
延长AP交EF于点G 延长EP交AB于M,延长FP交AD于N
∵P为正方形ABCD对角线BD上任一点
∴PM=PF,PN=PE
又AMPN为矩形.
∴AN=PM=PF
∵∠EPF=∠BAC=90°
∴△PEF≌△ANP
∴∠NAP = ∠PFE
又∠NPA=∠FPG(对顶角)
∠NAP +∠NPA=90°
∴∠PFE+∠FPG=90°
∴∠PGF=180°-(∠PFE+∠FPG)=90°
∴AP⊥EF