百度作业网考研数学真题,麻烦各位达人.
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 17:28:35
考研数学真题,麻烦各位达人.
这题我看答案上说可以用 泰勒公式,洛必达法则,还有 无穷小
谁能用这三种方法分别帮我做一遍啊? 我很笨的 麻烦写详细一点
小弟这里有三十分奉上 感谢!~
(1).已知x→0lim[(x-arctanx)/x^k]=c,其中k,c为常量,且c≠0,则k=?c=?
x→0lim[(x-arctanx)/x^k]=x→0lim[1-1/(1+x²)]/[kx^(k-1)]=x→0lim(x²)/[k(1+x²)x^(k-1)]
=x→0lim{1/[k(1+x²)x^(k-3)]=c,故k=3,c=1/3.选D.
(2).求曲面x²+cos(xy)+yz+x=0在点M(0,1,-1)处的切平面方程
设F(x,y,z)=x²+cos(xy)+yz+x=0
∂F/∂x=2x-ysin(xy)+1,在点M处,∂F/∂x∣(0,1,-1)=1；
∂F/∂y=-xsin(xy)+z,在点M处,∂F/∂y∣(0,1,-1)=-1；
∂F/∂z=y,在点M处,∂F/∂z∣(0,1,-1)=1；
故过M的切面方程为x-(y-1)+(z+1)=0,即x-y+z+2=0为所求.选A.
再问： 不是，哥们，第二题我不需要，是第一题我希望用三个方法解出来 泰勒公式，洛必达法则，还有一个无穷小的那个
再答： 第1题就是用的洛必达法则；你说的“无穷小”，是用等价无穷小作替换，在这两题中都用不上； 第2题的运算方法是唯一的，泰勒公式用不上。
再问：
再答： 解法二：用等价无穷小作替换： 由于x→0lim(x-arctanx)/(x³/3)=x→0lim[1-1/(1+x²)]/x²=x→0lim[1/(1+x²)]=1，故x-arctanx)∽(x³/3); 于是x→0lim[(x-arctanx)/x^k]=x→0lim(x³/3)/x^k=(1/3)[x→0limx^(3-k)]=c，故k=3，c=1/3. 解法三：把arctanx在x=0处展成三阶台劳级数(马克劳林级数)： 设f(x)=arctanx；f(0)=0；f '(x)=1/(1+x²)，f '(0)=1；f ''(x)=-2x/(1+x²)²，f ''(0)=0； f '''(x)=[-2(1+x²)²+8x³(1+x²)]/(1+x²)⁴，f '''(0)=-2； 故arctanx∽x-(2/3!)x³=x-(1/3)x³；代入极限表达式得： 故x→0lim[(x-arctanx)/x^k]=x→0lim[(1/3)x³]/x^k=x→0lim[(1/3)x^(3-k)]=c，故k=3，c=1/3. 附：台劳公式： f(x)=f(x0)+f '(x0)(x-x0)+(1/2!)f ''(xo)(x-xo)²+(1/3!)f '''(xo)(x-xo)³+.......+(1/n!)f⁽ⁿ⁾(xo)(x-xo)ⁿ+...... 当xo=0时就是马克劳林级数。
x→0lim[(x-arctanx)/x^k]=x→0lim[1-1/(1+x²)]/[kx^(k-1)]=x→0lim(x²)/[k(1+x²)x^(k-1)]
=x→0lim{1/[k(1+x²)x^(k-3)]=c,故k=3,c=1/3.选D.
(2).求曲面x²+cos(xy)+yz+x=0在点M(0,1,-1)处的切平面方程
设F(x,y,z)=x²+cos(xy)+yz+x=0
∂F/∂x=2x-ysin(xy)+1,在点M处,∂F/∂x∣(0,1,-1)=1；
∂F/∂y=-xsin(xy)+z,在点M处,∂F/∂y∣(0,1,-1)=-1；
∂F/∂z=y,在点M处,∂F/∂z∣(0,1,-1)=1；
故过M的切面方程为x-(y-1)+(z+1)=0,即x-y+z+2=0为所求.选A.
再问： 不是，哥们，第二题我不需要，是第一题我希望用三个方法解出来 泰勒公式，洛必达法则，还有一个无穷小的那个
再答： 第1题就是用的洛必达法则；你说的“无穷小”，是用等价无穷小作替换，在这两题中都用不上； 第2题的运算方法是唯一的，泰勒公式用不上。
再问：
再答： 解法二：用等价无穷小作替换： 由于x→0lim(x-arctanx)/(x³/3)=x→0lim[1-1/(1+x²)]/x²=x→0lim[1/(1+x²)]=1，故x-arctanx)∽(x³/3); 于是x→0lim[(x-arctanx)/x^k]=x→0lim(x³/3)/x^k=(1/3)[x→0limx^(3-k)]=c，故k=3，c=1/3. 解法三：把arctanx在x=0处展成三阶台劳级数(马克劳林级数)： 设f(x)=arctanx；f(0)=0；f '(x)=1/(1+x²)，f '(0)=1；f ''(x)=-2x/(1+x²)²，f ''(0)=0； f '''(x)=[-2(1+x²)²+8x³(1+x²)]/(1+x²)⁴，f '''(0)=-2； 故arctanx∽x-(2/3!)x³=x-(1/3)x³；代入极限表达式得： 故x→0lim[(x-arctanx)/x^k]=x→0lim[(1/3)x³]/x^k=x→0lim[(1/3)x^(3-k)]=c，故k=3，c=1/3. 附：台劳公式： f(x)=f(x0)+f '(x0)(x-x0)+(1/2!)f ''(xo)(x-xo)²+(1/3!)f '''(xo)(x-xo)³+.......+(1/n!)f⁽ⁿ⁾(xo)(x-xo)ⁿ+...... 当xo=0时就是马克劳林级数。