百度作业网关于大学线性代数的问题（求详解）
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/30 05:14:05
关于大学线性代数的问题（求详解）
设矩阵A是正定的,试证明2E+A也是正定的,求大神相助（学渣勿扰!）
设矩阵A是正定的,试证明2E+A也是正定的,求大神相助（学渣勿扰!）
由于A是正定的,所以A的特征值全都是正的,则显然2E+A的特征值也都是正的,所以2E+A也是正定矩阵.
这应该是最简单的方法,但是不知道是不是超过你们的学习范围?
再问： 显然是超出了我的认知范围，有不那么简单的方法嘛。。。
再答： 定义是这个吧：一个n阶的实对称矩阵A是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z’Az> 0。其中z’表示z的转置。 由于A正定，所以对于所有的非零实系数向量z，都有z’Az> 0。 而z’(2E+A)z=z’(2E)z+z’Az=2z’z+z’Az 由于z’z是一个正数（其值为所有分量的平方和），又z’Az> 0 所以z’(2E+A)z>0，所以2E+A也是正定的。
这应该是最简单的方法,但是不知道是不是超过你们的学习范围?
再问： 显然是超出了我的认知范围，有不那么简单的方法嘛。。。
再答： 定义是这个吧：一个n阶的实对称矩阵A是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z’Az> 0。其中z’表示z的转置。 由于A正定，所以对于所有的非零实系数向量z，都有z’Az> 0。 而z’(2E+A)z=z’(2E)z+z’Az=2z’z+z’Az 由于z’z是一个正数（其值为所有分量的平方和），又z’Az> 0 所以z’(2E+A)z>0，所以2E+A也是正定的。