利用最小二乘法拟合求非线性度

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 16:36:58

利用最小二乘法拟合求非线性度
数据：x 1 2 3 5 6
y 2.2 4.00 5.98 10.10 12.05

这个问题的计算量很大.
各点的(xi,yi) (i=1,2,3,4,5) 坐标大致成线形关系.可利用最小二乘法求出斜率、截距以及非线性度.
首先约定用小写的x和y表示各点坐标.而大写字母表示平均值.例如 (X)表示横坐标的平均值、(Y^2) 表示纵坐标平方的平均值、(Y)^2表示纵坐标平均值的平方、(XY)表示横纵坐标乘积的平均值等等.
设 (xi,yi)之间的程线形关系.直线方程为 y=kx+b.k为斜率,b为截距.
按照最小二乘法：
k=[(X)(Y)-(XY)]/[(X)^2-(X^2)]
其中
(X)= (1/n)(∑xi)=(1/5)×（1+2+3+5+6）=3.4
(Y)= (1/n)(∑yi)=(1/5)×（2.20+4.00+5.98+10.10+12.05）= 6.866
(XY)=(1/n)(∑xiyi)
=(1/5)×(1×2.20+2×4.00+3×5.98+5×10.10+6×12.05)=30.188
(X^2)=(1/n)(∑xi^2)=(1/5)×(1×1+2×2+3×3+5×5+6×6)=15
(X)^2=3.4×3.4=11.56
k=(3.4×6.866-30.188)/(11.56-15)=1.99
以上关于直线的斜率,楼主没有要求计算.如果不需要算,可以忽略不看.另外,请楼主自己决定是否需要遵循有效数字的位数运算规则.
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关于非线性度γ：
γ=[(XY)-(X)(Y)]/SQRT{[(X^2)-(X)^2][(Y^2)-(Y)^2]}
SQRT表示开平方运算.
(X)= 3.4
(Y)= 6.866
(XY)=30.188
(X^2)=15
(X)^2=11.56
(Y^2)=(1/5)[2.20×2.20+4.00×4.00+5.98×5.98+10.10×10.10+12.05×12.05]
= 60.76
(Y)^2= 6.866×6.866=47.14
γ=[30.188-3.4×6.866]/SQRT[(15-11.56)(60.76-47.14)
=6.8436/SQRT(46.8528)
=6.8436/6.8449
≈1.00
非线性度参数γ总是在0和1之间.越接近于1,数据的线形越好.本题目中,γ已经很接近于1,这表明各数据点很好地在一条直线上.

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