百度作业网问一道关于线性代数的题目
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 02:57:02
问一道关于线性代数的题目
A是n*n矩阵,b是n*1矩阵,k是整数,若(A^k)b≠0,(A^(k+1))b=0,证明b,Ab,...,(A^k)b线性无关
A是n*n矩阵,b是n*1矩阵,k是整数,若(A^k)b≠0,(A^(k+1))b=0,证明b,Ab,...,(A^k)b线性无关
令
c1*b+c2*Ab+c3A^2b+.+c(k+1)(A^k)b=0
即证c1=c2=...=ck+1=0
两边同乘以(A^k)
因为(A^k)b≠0,(A^(k+1))b=0,
所以
c1(A^k)b+0=0
c1=0
所以
c1*b+c2*Ab+c3A^2b+.+c(k+1)(A^k)b=c2*Ab+c3A^2b+.+c(k+1)(A^k)b=0
再两边同乘以(A^k-1)
可得c2=0.以此类推,得
c1=c2=...=ck+1=0
所以
b,Ab,...,(A^k)b线性无关.
c1*b+c2*Ab+c3A^2b+.+c(k+1)(A^k)b=0
即证c1=c2=...=ck+1=0
两边同乘以(A^k)
因为(A^k)b≠0,(A^(k+1))b=0,
所以
c1(A^k)b+0=0
c1=0
所以
c1*b+c2*Ab+c3A^2b+.+c(k+1)(A^k)b=c2*Ab+c3A^2b+.+c(k+1)(A^k)b=0
再两边同乘以(A^k-1)
可得c2=0.以此类推,得
c1=c2=...=ck+1=0
所以
b,Ab,...,(A^k)b线性无关.