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已知α,β都是锐角,且sinαcos(α+β)=sinβ,当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 23:43:20
已知α,β都是锐角,且sinαcos(α+β)=sinβ,当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值
已知α,β都是锐角,且sinαcos(α+β)=sinβ,当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值
∵sinαcos(α+β)=sinβ=sin(α+β-α)
sinαcos(α+β)=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
∴2cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα
两边同除cos(α+β)cosα
∴2tanα=tan(α+β)
设tanα=t,tan(α+β)=2t
tanβ=[tan(α+β)-tanα]/[1+tan(α+β)tanα]
=(2t-t)/(1+2t*t)
=t/(1+2t*t)=1/(1/t+2t)
当1/t=2t即t=√2/2时
tanβ取最大值,
tanβ=1/2√2=√2/4,tan(α+β)=2t=√2