证明或反证群G的正规子群个数与群上的同余关系个数相等.希望尽量详细些

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/04 22:43:44

我不太清楚同余关系的定义, 按我的理解给个定义:
G上的一个等价关系"≡", 若满足对任意a ≡ b, c ≡ d, 恒有ab ≡ cd, 则称"≡"为G上的一个同余关系.
如果是这种定义, 那么G上的同余关系与G的正规子群是一一对应的.
设"≡"是G上的一个同余关系, e为G的单位元.
考虑G的子集H = {h ∈ G | h ≡ e}.
可以验证H是G的一个子群:
1. 任意a, b ∈ H, 有a ≡ e, b ≡ e, 由"≡"是同余关系, 得ab ≡ e, 即有ab ∈ H.
2. 任意a ∈ H, 有a ≡ e, 而由"≡"是等价关系, 有a^(-1) ≡ a^(-1), 于是e = a·a^(-1) ≡ a^(-1).
即a^(-1) ≡ e, 也即a^(-1) ∈ H.
进而可以验证H是G的正规子群:
对任意a ∈ H, g ∈ G, 有g^(-1) ≡ g^(-1), a ≡ e, g ≡ g, 于是g^(-1)·a·g ≡ g^(-1)·g = e.
即g^(-1)·a·g ∈ H.
设H是G的一个正规子群.
定义G上的关系: a ≡ b当且仅当a^(-1)·b ∈ H (其实就是按左陪集分类).
可以验证"≡"是一个等价关系:
1. 对任意a ∈ G, 有a^(-1)·a = e ∈ H (H是子群, 故包含单位元), 即有a ≡ a.
2. 若a, b ∈ G满足a ≡ b, 即有a^(-1)·b ∈ H.
由H是子群, 有b^(-1)·a = (a^(-1)·b)^(-1) ∈ H, 即有b ≡ a.
3, 若a, b, c ∈ G满足a ≡ b, b ≡ c, 即有a^(-1)·b, b^(-1)·c ∈ H.
由H是子群, 有a^(-1)·c = (a^(-1)·b)·(b^(-1)·c) ∈ H, 即有a ≡ c.
进而可以验证"≡"是一个同余关系:
若a, b, c, d ∈ G满足a ≡ b, c ≡ d, 即有a^(-1)·b, c^(-1)·d ∈ H.
由H是正规, 有c^(-1)·(a^(-1)·b)·c ∈ H.
于是(ac)^(-1)·(bd) = (c^(-1)·a^(-1)·b·c)·(c^(-1)·d) ∈ H, 即有ac ≡ bd.
上述由同余关系构造正规子群以及由正规子群构造同余关系的过程是互逆的.
给定同余关系"≡", 可构造正规子群H = {h ∈ G | h ≡ e}.
可知a ≡ b当且仅当a^(-1)·b ∈ H (即a^(-1)·b ≡ e).
反之, 给定正规子群H, 可构造同余关系: a ≡ b当且仅当a^(-1)·b ∈ H.
可知H = {h ∈ G | h ≡ e}.
综上, G上的同余关系与正规子群可以建立一一对应.
当一个有限时另一个也有限且二者个数相等.

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