已知函数f（x）=（ax-2）ex在x=1处取得极值．

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 16:33:51

已知函数f（x）=（ax-2）e^x在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；
（Ⅲ）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e．

（Ⅰ）f′（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x，
由已知得f′（1）=0，即（2a-2）e=0，
解得：a=1，
验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x-2）e^x取得极小值，所以a=1；
（Ⅱ）f（x）=（x-2）e^x，f′（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．
x（-∞，1）1（1，+∞）f′（x）-0+f（x）减增所以函数f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，
f_min（x）=f（m）=（m-2）e^m．
当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，
f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，f_min（x）=f（1）=-e．
当m≤0时，m+1≤1，
f（x）在[m，m+1]单调递减，fmin(x)=f(m+1)=(m-1)em+1．
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值fmin(x)=

(m-2)em，m≥1
-e，0＜m＜1
(m-1)em+1，m≤0
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-2）e^x，
f′（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．
令f′（x）=0得x=1，
因为f（0）=-2，f（1）=-e，f（2）=0，
所以f_max（x）=0，f_min（x）=-e，
所以，对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=e，

已知函数f（x）=（x2+ax+b）•ex，其中e是自然对数的底数．函数f（x）在x＝−12和x＝32处取得极值．已知x=-2是函数f（x）=（ax+1）ex的一个极值点．已知f（x）=2ax-bx+lnx在x=-1，x=12处取得极值．已知函数f(x)=x3次方-3ax在X=2处取得极值, （2013•烟台二模）已知函数f（x）=ax-2ax-61nx在x=2处取得极值．已知函数f（x）=ax^3-3x在x=1上取得极值已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值,求f(x)的解析式已知函数f(x)=ax^3+bx^2-2x在x=-2,x=1处取得极值.求函数f(x)的解析式.（2）求函数f(x)的单已知函数f（x）=x3+bx2+cx+2在x=1处取得极值-1．函数f（x）=ax^3+bx^2-3x在x=±1取得极值. 已知函数f(x)=ax^3+bx^2-3x在x=1或-1处取得极值. (1)求函数f(x)的解析式. 已知函数f(x)=ax^3 bx^2-3x在x=±1处取得极值求函数f(x)的单调增、减区间