求正十二面体和正二十面体的相邻两个表面的二面角大小

求正十二面体和正二十面体的相邻两个表面的二面角大小
如果可以的话顺便算一下每个顶点立体角的大小
有加分嗒*^-^*
emmm如果是用向量做的话,请附上建系
你是用Matlab的么？有没有源代码？
Mathematica用得痛苦了

我可以给出 正20面体的解法.（由于正12面体的每个面都是正5边行,解决起来比较麻烦,但是是可以解的,解法跟正20面体基本是一样的,就不在这里写了.）
[思路]
研究 由单独的一个面和体中心 组成的这个 正3棱锥
1.正3棱锥的顶立体角应该是 一个完全立体角的20分之一 也就是4π/20
2.然后通过这个 顶立体角 我们可以算出 正3棱锥任意侧面的顶角 和各种其他角度
3.因此我们可以容易地算出 相临两面的2面角（最后这部分用高中几何知识就可以解决）
[解]：
为了研究方便,我们取 顶点到体中心距离为1 的 正20面体来研究 （无论这个长度是多少,都不会影响最后要求的2面角角度,所以无所谓）
我们先取它的任意一个 面与体中心组成的 正3棱锥 来研究
1.正3棱锥的顶立体角Ω= 4π/20 =π/5 （全立体角是4π,它被20个面所对应的20个正3楞锥的20个顶立体角所平分）
2.这部分是最麻烦的,我们先研究顶角与棱锥所对应的“球面三角形”面积的关系,这个面积就是立体角（因为半径是1）
我们将正3棱锥 表示成 正3棱锥O-ABC ,O为顶点,ABC为底边正三角形.记∠AOB=∠BOC=∠COA=θ
由于OA=OB=OC=1
所以由余弦定理可知 AB=BC=CA=2-2cosθ
作AP,BP垂直OC于P
记φ=∠APB就是 三棱锥两个侧面的2面角
过O作OQ垂直BC于Q
OQ=cos(θ/2)
由三角形OBC等面积 我们可以知道：
1/2 * BC * OQ = 1/2 * AC * BP
于是,我们求得
BP=(2-2cosθ)cos(θ/2)=AP
在三角形APB中,根据余弦定理,我们可以得到
cosφ=cos∠APB=[2cos方(θ/2)-1]/2cos方(θ/2)= cosθ/(cosθ+1)
cosφ= cosθ/(cosθ+1)
φ=arccos[cosθ/(cosθ+1)]----------------***
ABC在球面上形成的“球面三角形”（注意 球面三角形ABC 与 平面三角形ABC 是两码事）的面积 我们可以通过如下公式求得：
球面三角形面积公式：
S=πr方(s/π-1)-----------------------------###
其中S为球面三角形面积,r为球面半径,s为球面三角形内角和
现在关键是求这个内角和
这个内角和等于 球面三角形ABC在 点C上的角的三倍 （三个角是相等的 随便取哪个都一样）
点C上的角 等于面ABC ACB与 球面相交 得到的两条 相交圆弧 在C点上的 两条切线 的 夹角
由于OC垂直于 球面,所以这个夹角 就等于 AOC BOC 的2面成角
也就等于φ=∠APB
于是球面三角形ABC的内角和 s=3φ=3arccos[cosθ/(cosθ+1)]
代入面积公式得：
S=πr方{3arccos[cosθ/(cosθ+1)]/π-1}
因为球半径为1,因此这个面积 就等于 锥体的顶立体角 π/5
即πr方{3arccos[cosθ/(cosθ+1)]/π-1}=π/5 (r=1)
我们把θ解出来：
cosθ=cos(2π/5)/[1-cos(2π/5)]------------@@@
3.我们来求 相临两面的2面角
这个2面角我们可以看作 是 一个棱锥 经过 旋转到 相临棱锥位置 所转动的角度.
所以这个2面角 = 相临两个棱锥的“体高”的夹角
（体高就是 顶点O到 底边中心 O’ 的连线）
还是对于刚才的3棱锥研究
过顶点O做 OO’垂直于底面ABC于O’
作AO’垂直BC于M
∠O’OM的2倍 就是我们要求的2面角
记α=∠O’OM
sinα=O’M/OM=AM/3OM=(AB根号3/2)/3OM=(根号3/6)AB/OM
=(根号3/6)(2-2cosθ)/cos(θ/2)-------------%%%
将上式中的cos(θ/2)用 根号(cosθ+1/2)替换
然后全部的cosθ都用2.中的@@@式替换
得到
sinα=(根号6/3)[1-2cos(2π/5)]/根号[1-cos(2π/5)]---------&&&
将cos(2π/5)=sin18°=(-1+√5)/4代如 上式 ,得到：
sinα=(根号6/3)(3-根号5)/(5-根号5)
cosα=根号(1-sin方α)=.略
sin2α=2sinαcosα=.略
2α=arcsin.略 -----------这个2α就是所求.
太麻烦了,终于写完了,不是复制粘贴的哦.