(2011•深圳一模)如图,有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分),边缘线OC是以直线AD为对称轴,以线段AD
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/12 19:34:35
(2011•深圳一模)如图,有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分),边缘线OC是以直线AD为对称轴,以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长为2米,问如何画切割线EF,可使剩余的直角梯形的面积最大?并求其最大值.
以O为原点,直线AD为y轴,建立如图所示的直角坐标系,依题意可设抛物线弧OC的方程为y=ax2(0≤x≤2)
∵点C的坐标为(2,1),
∴22a=1,a=
1
4
故边缘线OC的方程为y=
1
4x2(0≤x≤2).
要使梯形ABEF的面积最大,则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切,设切点坐标为P(t,
1
4t2)(0<t<2),
∵y′=
1
2x,
∴直线EF的方程可表示为y−
1
4t2=
1
2t(x−t),即y=
1
2tx−
1
4t2,
由此可求得E(2,t−
1
4t2),F(0,−
1
4t2).
∴|AF|=|−
1
4t2−(−1)|=1−
1
4t2,|BE|=|(t−
1
4t2)−(−1)|=−
1
4t2+t+1,
设梯形ABEF的面积为S(t),则S(t)=
1
2|AB|•[|AF|+|BE|]=(1−
1
4t2)+(−
1
4t2+t+1)=−
1
2t2+t+2=−
1
2(t−1)2+
5
2≤
5
2.
∴当t=1时,S(t)=
5
2.,
故S(t)的最大值为2.5.此时|AF|=0.75,|BE|=1.75.
答:当AF=0.75m,BE=1.75m时,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值为2.5m2.
∵点C的坐标为(2,1),
∴22a=1,a=
1
4
故边缘线OC的方程为y=
1
4x2(0≤x≤2).
要使梯形ABEF的面积最大,则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切,设切点坐标为P(t,
1
4t2)(0<t<2),
∵y′=
1
2x,
∴直线EF的方程可表示为y−
1
4t2=
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2t(x−t),即y=
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2tx−
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4t2,
由此可求得E(2,t−
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4t2),F(0,−
1
4t2).
∴|AF|=|−
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4t2−(−1)|=1−
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4t2,|BE|=|(t−
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4t2)−(−1)|=−
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4t2+t+1,
设梯形ABEF的面积为S(t),则S(t)=
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2|AB|•[|AF|+|BE|]=(1−
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4t2)+(−
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4t2+t+1)=−
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2t2+t+2=−
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2(t−1)2+
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2≤
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2.
∴当t=1时,S(t)=
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2.,
故S(t)的最大值为2.5.此时|AF|=0.75,|BE|=1.75.
答:当AF=0.75m,BE=1.75m时,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值为2.5m2.
如图,有一矩形钢板ABCD缺损了一角(图中阴影部分),边缘线OM上每一点到点D的距离等于它到边AB的距离.工人师傅要将缺
如图,单位正方形ABCD,M为AD边上的中点,求图中阴影部分面积.
如图,分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆,若正方形的边长为a,求阴影部分面积
如图,分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆,若正方形的边长为4cm,求阴影部分的面积
(2012?长春一模)如图,四边形ABCD是矩形,以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F,AB=4,AD=12.求线段EF
如图,正方形ABCD的面积为3平方厘米,M是AD边上的中点,求阴影部分面积.(用小学生的方法,)
正方形ABCD与等腰直角三角形BEF叠放在一起(如图),点M,N分别为AD,CD边上的中点.若阴影部分的面积是
如图,单位正方形ABCD,M为AD边上的中点,求图中的阴影部分面积.注:答案是三分之一.要的是原因!
正方形ABCD边长为6厘米 ,M为AD边上的中点,求图中的阴影部分面积.
如图正方形ABCD的面积是30平方厘米,M为AD边上的中心,求阴影部分的面积?
如图,正方形ABCD的面积为3平方厘米,M是AD边上的中点,求阴影部分面积
如图,正方形ABCD的面积为1,M是AD边上的中点,求图中阴影部分的面积.