如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P′),当AP旋转
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 05:38:13
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P′),当AP旋转至AP′⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时作P′E⊥AC于点E.
(1)求证:∠CBP=∠ABP;
(2)求证:AE=CP;
(3)当
=
(1)求证:∠CBP=∠ABP;
(2)求证:AE=CP;
(3)当
CP |
PE |
3 |
2 |
(1)证明:∵AP′是AP旋转得到,
∴AP=AP′,
∴∠APP′=∠AP′P,
∵∠C=90°,AP′⊥AB,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°,
又∵∠BPC=∠APP′(对顶角相等),
∴∠CBP=∠ABP;
(2)证明:如图,过点P作PD⊥AB于D,
∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,
∴CP=DP,
∵P′E⊥AC,
∴∠EAP′+∠AP′E=90°,
又∵∠PAD+∠EAP′=90°,
∴∠PAD=∠AP′E,
在△APD和△P′AE中,
∠PAD=∠AP′E
∠ADP=∠P′EA=90°
AP=AP′,
∴△APD≌△P′AE(AAS),
∴AE=DP,
∴AE=CP;
(3)∵
CP
PE=
3
2,
∴设CP=3k,PE=2k,
则AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k,
在Rt△AEP′中,P′E=
(5k)2−(3k)2=4k,
∵∠C=90°,P′E⊥AC,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠EPP′=90°,
∵∠BPC=∠EPP′(对顶角相等),
∴∠CBP=∠EP′P,
又∵∠CBP=∠ABP,∴∠ABP=∠EP′P,
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°,
∴△ABP′∽△EPP′,
∴
AB
P′E=
P′A
PE,
即
AB
4k=
P′A
2k,
解得P′A=
1
2AB,
在Rt△ABP′中,AB2+P′A2=BP′2,
即AB2+
1
4AB2=(5
5)2,
解得AB=10.
∴AP=AP′,
∴∠APP′=∠AP′P,
∵∠C=90°,AP′⊥AB,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°,
又∵∠BPC=∠APP′(对顶角相等),
∴∠CBP=∠ABP;
(2)证明:如图,过点P作PD⊥AB于D,
∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,
∴CP=DP,
∵P′E⊥AC,
∴∠EAP′+∠AP′E=90°,
又∵∠PAD+∠EAP′=90°,
∴∠PAD=∠AP′E,
在△APD和△P′AE中,
∠PAD=∠AP′E
∠ADP=∠P′EA=90°
AP=AP′,
∴△APD≌△P′AE(AAS),
∴AE=DP,
∴AE=CP;
(3)∵
CP
PE=
3
2,
∴设CP=3k,PE=2k,
则AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k,
在Rt△AEP′中,P′E=
(5k)2−(3k)2=4k,
∵∠C=90°,P′E⊥AC,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠EPP′=90°,
∵∠BPC=∠EPP′(对顶角相等),
∴∠CBP=∠EP′P,
又∵∠CBP=∠ABP,∴∠ABP=∠EP′P,
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°,
∴△ABP′∽△EPP′,
∴
AB
P′E=
P′A
PE,
即
AB
4k=
P′A
2k,
解得P′A=
1
2AB,
在Rt△ABP′中,AB2+P′A2=BP′2,
即AB2+
1
4AB2=(5
5)2,
解得AB=10.
如图1,已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),连接AP,将线段AP绕
如图1,已知:在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内任意一点,将AP绕点A顺时针旋转至AQ,使∠QAP=∠BAC,连接
如图1,已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),连接AP,将线段AP
已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点,(点P与B不重合)连结AP,将线段AP绕点A逆时针
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2,点E、F同时从点P出发,分别沿PA、P
已知P为正方形ABCD外的一点.PA=1,PB=2,将△ABP绕点B顺时针旋转90°,使点P旋转至点P,且AP=3,求角
如图,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,CD‖BA,点P是BC上一点,连结AP,过点P做PE⊥AP交C,探究P
1)如图,在等边△ABC中,BC边上任意取一点P,过点P作AC的平行线,过点C作AB的平行线,两线交于点Q,求证:AP=
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=α,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC,此时点D在AB边上,
如图,已知:在△ABC中,M为BC上任意一点,AP⊥AM,BE为AC边上的高,交AP于P点,求证:∠MAC=∠BPA
如图,已知∠ABC=90°,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△A
如图:在三角形ABC中,AB=AC=5,P是BC边上点B,C外的任意一点,则AP^2+PB*PC=