已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/13 18:13:56

已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线y=-

（1）∵矩形OABC中，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2），
∴点B的坐标为（6，2）．
若直线y＝−
1
2x+b经过点C（0，2），则b=2；
若直线y＝−
1
2x+b经过点A（6，0），则b=3；
若直线y＝−
1
2x+b经过点B（6，2），则b=5．
①当点E在线段OA上时，即2＜b≤3时，（如图）
∵点E在直线y＝−
1
2x+b上，
当y=0时，x=2b，
∴点E的坐标为（2b，0）．
∴S=
1
2•2b•2＝2b．
②当点E在线段BA上时，即3＜b＜5时，（如图）
∵点D，E在直线y＝−
1
2x+b上

当y=2时，x=2b-4；
当x=6时，y=b-3，
∴点D的坐标为（2b-4，2），点E的坐标为（6，b-3）．
∴S=S_矩形OABC-S_△COD-S_△OAE-S_△DBE=6×2−
1
2(2b−4)•2−
1
2(b−3)•6−
1
2[6−(2b−4)][2−(b−3)]=-b²+5b．
综上可得：S＝

2b(2＜b≤3)
−b2+5b(3＜b＜5).
（2）证明：如图．
∵四边形OABC和四边形O′A′B′C′是矩形
∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，
即DN∥ME，DM∥NE．
∴四边形DMEN是平行四边形，且∠NDE=∠DEM．
∵矩形OABC关于直线DE对称的图形为四边形O′A′B′C′
∴∠DEM=∠DEN．
∴∠NDE=∠DEN．
∴ND=NE．

∴四边形DMEN是菱形．
（3）y=-
1
2x+b
当x=0时，y=b，
当y=0时，x=2b，
∴OQ=b，OE=2b
过DH⊥OE于H，
∴DH=2，
∵∠QOE=90°，DH⊥OA，
∴DH∥OQ，
∴△DHE∽△QOE，
∴
QO
DH=
OE
HE，
即
b
DH=
2b
HE，
∴HE=2DH=4，
设DM=ME=x，
在△DHM中，由勾股定理得：2²+（4-x）²=x²，
解得：x=2.5，
故答案为：2.5．