已知定义域为R的函数f(x)=2的x次方-1/a+2的x-1次方是奇函数.(1)求a的值;(2)求证:f(x)在R上是增
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/24 07:22:05
已知定义域为R的函数f(x)=2的x次方-1/a+2的x-1次方是奇函数.(1)求a的值;(2)求证:f(x)在R上是增函数
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(1)R上的奇函数,则f(-x)=-f(x);
则必然满足f(-1)=-f(1);
即:-2/(4a+1)=-1/(a+1)
2a+2=4a+1
得:a=1/2
(2)由(1)a=1/2,代入f(x),得:f(x)=2(2^x-1)/(2^x+1)=2(2^x+1-2)/(2^x+1)=2-4/(2^x+1)
令x10;
因为x1
再问: (3)若对任意的t∈R,不等式f(mt^2+1)+f(1-mt)>0恒成立,求实数m的取值范围。
再答: f(mt²+1)+f(1-mt)>0 即f(mt²+1)>-f(1-mt); 因为f(x)是奇函数,所以有-f(1-mt)=f(mt-1) 所以:f(mt²+1)>f(mt-1); 又因为f(x)是增函数,所以:mt²+1>mt-1; 即:mt²-mt+2>0对t属于R恒成立; (1)m=0时,2>0,恒成立,所以m=0可取; (2)m≠0时,二次函数要大于0恒成立,则:开口向上,与x轴无交点; 即m>0,△=m²-8m
则必然满足f(-1)=-f(1);
即:-2/(4a+1)=-1/(a+1)
2a+2=4a+1
得:a=1/2
(2)由(1)a=1/2,代入f(x),得:f(x)=2(2^x-1)/(2^x+1)=2(2^x+1-2)/(2^x+1)=2-4/(2^x+1)
令x10;
因为x1
再问: (3)若对任意的t∈R,不等式f(mt^2+1)+f(1-mt)>0恒成立,求实数m的取值范围。
再答: f(mt²+1)+f(1-mt)>0 即f(mt²+1)>-f(1-mt); 因为f(x)是奇函数,所以有-f(1-mt)=f(mt-1) 所以:f(mt²+1)>f(mt-1); 又因为f(x)是增函数,所以:mt²+1>mt-1; 即:mt²-mt+2>0对t属于R恒成立; (1)m=0时,2>0,恒成立,所以m=0可取; (2)m≠0时,二次函数要大于0恒成立,则:开口向上,与x轴无交点; 即m>0,△=m²-8m
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