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傅里叶级数 正交性的证明

来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/05 16:25:04
傅里叶级数 正交性的证明
f(x) =C+a1sin x + b1 cos x + a2 sin 2x + b2 cos 2x .
要证明上面这个傅里叶函数的正交性
1 要证明的问题是什么
是否为 这里面的每一项 跟 所有其他的项 的点积都是0?
即 证明 :
a.ʃcos mx * sin nx dx=0 [区间 0-2π] (m,n 为大于0 的自然数)
b ʃ cos mx * cos nx dx=0 [0-2π] (m不等于n )
c ʃ sin mx * sin nx dx=0 [0-2π] (m不等于n )
(第一项肯定有 但是第二三项我不确定)
2 要如何证明
准确的来说 如何对 f(x)= cos mx * sin nx dx,
g(x)= cos mx * cos nx ,
h(x)= sin mx * sin nx 这三种函数求积分?
傅里叶级数 正交性的证明
cos(mx)*cos(nx) = 1/2 * [cos(m+n)x + cos(m-n)x]
ʃcos(mx)*cos(nx) *dx
=1/2 * ʃcos[(m+n)x]*dx + 1/2 * ʃcos[(m-n)x]*dx
=1/2 * 1/(m+n) * sin[(m+n)x] + 1/2 * 1/(m-n) * sin[(m-n)x], x = 0 → 2π
=1/2 * 1/(m+n) * {sin[2(m+n)π] - sin0} + 1/2 * 1/(m-n) * {sin[2(m-n)π] - sin0}
=1/2 * 1/(m+n) * {0 - 0} + 1/2 * 1/(m-n) * {0 - 0}
=0
sin(mx)*sin(nx)
=1/2 * {cos[(m+n)x] - cos[(m-n)x]}
对此进行积分的话,得到的结果和上面的第 2 个积分是一样的,唯一不同的是第二项积分的系数是 -1 而不是 +1 而已.
再问： 问一下 第一问 我对正交性的理解对吗?
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