证:n维向量组α1,...,αm线性无关,向量β与α1,...,αm中的每个向量都正交,则α1,...,αm,β线性无关

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 13:48:13

证明: 设 k1α1+...+kmαm+kβ=0 (*)
等式两边与β作内积,
k1(α1,β)+...+km(αm,β)+k(β,β)=0
由β与α1,...,αm中的每个向量都正交, 所以有
k(β,β)=0
[注意: 此处必有β≠0, 否则题目不正确]
由β≠0, 所以(β,β)>0. 故k=0.
(*)式变为 k1α1+...+kmαm = 0 .
再由 α1,...,αm 线性无关, 得 k1=k2=...=km.
所以必有 k1=k2=...=km=k=0.
所以 α1,...,αm,β线性无关.
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证:n维向量组α1,...,αm线性无关,向量β与α1,...,αm中的每个向量都正交,则α1,...,αm,β线性无关设n维列向量组α1，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，…，βm线性无关的充分必要条件为（　　）设n维向量组α1,α2,...,αn线性无关,证明：若n维向量β与每个αi（i=1,2,...,n）都正交,则β=0 n维列向量α1,α2,α3,...α(n－1）线性无关,且与非零向量β1,β2正交, 已知向量组α1,α2,α3线性无关,而向量组α1+α2,α2+α3,mα3 +nα1线性相关,则数m和n应满足已知α1,α2,…αm线性无关,证明向量组α1-αm,α2-αm…αm-1-αm也线性无关求一道线性代数的题.设向量组α1,α2,.αn线性无关,讨论向量组β1,β2...βn的线性相关性设向量组α1,α2,...,αn中,前n-1个向量线性相关,后n-1个向量线性无关,试讨论：向量β能用向量α1,α2...αm线性表出,且表示式是唯一的,用反证法证明α1,α2...αm必线性无关设向量组α,β,γ线性无关,证明向量组α,α+β,α+β+γ也线性无关线性代数：证明向量组β,β+α1,β+α2,...β+αr线性无关已知β是向量组α1,α2,...αm的线性组合,且α1,α2,.,αm线性无关,证明组合系数是唯一的