已知函数f(x)=﹙x²+2x+a)/x,x∈[1,﹢∞﹚,若a为正常数,求f(x)的最小值

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/07 16:33:29

f(x)=(x²+2x+a)/x
f'(x)=[(2x+2)x-(x²+2x+a)]/x²
f'(x)=(x²-a)/x²
1、令：f'(x)＞0
即：(x²-a)/x²＞0
解得：x＞√a,或x＜-√a
即：x∈(√a,∞)∪(-∞,-√a)时,f(x)是单调增函数；
2、令：f'(x)＜0
即：(x²-a)/x²＜0
解得：-√a＜x＜√a,
即：x∈(-√a,√a)时,f(x)是单调减函数；
3、令：f'(x)=0,
即：(x²-a)/x²=0
解得：x=±√a
即：x=√a、x=-√a是f(x)的两个拐点.
综上所述,有：
x=-√a,是f(x)的极大值点；x=√a是f(x)的极小值点.
函数f(x)的极小值是：f(√a)=(a+3√a)/(√a)=√a+3；
函数f(x)的极大值是：f(-√a)=(a-√a)/(-√a)=1-√a.
若：1≥√a,即a≤1,f(x)处于单调增区间,所求最小值是f(1)=3+a
若：-√a＜1＜√a,即：a＞1,f(x)处于单调减及单调增区间,x=√a是f(x)的最小值点,所求最小值为3+√a.
综上所述：
当0＜a≤1时,函数的最小值是f(1)=3+a
当a＞1时,函数的最小值是f(√a)=3+√a

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