是否存在正整数m,n,使得(2+√3)^m=(7+3√3)^n 成立

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/25 23:15:35

不存在.
用反证法, 假设正整数m, n使得(2+√3)^m = (7+3√3)^n.
由二项式定理, 易知(2+√3)^m可表示为A+B√3, 其中A, B均为整数,
A和B√3分别是二项式定理展开中偶数项和奇数项的和.
由此可知(2-√3)^m = A-B√3.
同理, 存在整数C, D使得(7+3√3)^n = C+D√3, 而(7-3√3)^n = C-D√3.
由假设A+B√3 = (2+√3)^m = (7+3√3)^n = C+D√3,
可得C-A = (B-D)√3.
若B ≠ D, 则有√3 = (C-A)/(B-D)为有理数, 矛盾.
因此B = D, 进而得A = C.
于是(2-√3)^m = A-B√3 = C-D√3 = (7-3√3)^n.
与等式(2+√3)^m = (7+3√3)^n相乘得:
1 = (2-√3)^m·(2+√3)^m = (7-3√3)^n·(7+3√3)^n = 22^n.
从而n = 0, 不为正整数, 矛盾.
因此不存在正整数m, n使得(2+√3)^m = (7+3√3)^n.

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