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已知函数f（x）=ax2+bx，g（x）=lnx．

来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/30 20:44:17
已知函数f（x）=ax2+bx，g（x）=lnx．
（1）当a=0时，①若f（x）的图象与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），求x0及b的值；②f（x）=g（x）在[1，m]上有解，求b的范围；
（2）当b=-1时，若f（x）≥g（x）在[
1
e
，n]
已知函数f（x）=ax2+bx，g（x）=lnx．
（1）∵a=0∴f（x）=bx，
①f′(x)＝b， g′(x)＝
1
x∴

b＝
1
x0
bx0＝lnx0 ， ∴x0＝e，∴b＝
1
e；
②∵f(x)＝g(x)∴bx＝lnx(x＞0)∴b＝
lnx
x在[1，m]上有解，即y=b与h(x)＝
lnx
x在[1，m]上有交点，
∵h′(x)＝
1−lnx
x2，
∴当m≤e时h（x）在[1，m]上递增，则h(x)∈[0，
lnm
m]，
当m＞e时h（x）在[1，e]上递增，在[e，m]上递减且h（x）＞0，则h(x)∈[0，
1
e]，
∴m≤e时，b∈[0，
lnm
m]；m＞e时，b∈[0，
1
e]；
（2）∵b=-1∴f（x）=ax2-x∴f（x）≥g（x）即ax2-x≥lnx，
即a≥
x+lnx
x2在[
1
e，n]上恒成立，
令r(x)＝
x+lnx
x2，∴r′(x)＝
1−x−2lnx
x3，
令s（x）=1-x-2lnx，则s（x）为单调减函数，且s（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，r′（x）＞0，r（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单调递减，
若n≤1，则r（x）在[
1
e，n]上单调递增，
∴rmax(x)＝r(n)＝
n+lnn
n2，∴a≥
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