百度作业网一道关于正多边形的几何题
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 06:10:03
一道关于正多边形的几何题
在正方形ABCD中,N是变AD上异于A、D的动点,AD=nAN,M是边DC上一点,且∠MNB=∠NBC.
（1）如图1,若n=3,求证DM=CM；
（2）如图2,若DM=1/2,求n的值.
DM=1/2CM
在正方形ABCD中,N是变AD上异于A、D的动点,AD=nAN,M是边DC上一点,且∠MNB=∠NBC.
（1）如图1,若n=3,求证DM=CM；
（2）如图2,若DM=1/2,求n的值.
DM=1/2CM
不妨设正方形ABCD边长为a,
延长BC和NM,相交于E,过E作EF⊥BN于F,
∵∠CBF=∠MNF,
∴EB=EN,FB=FN,
∵AD=nAN
∴AN=a/n,ND=AD-AN=a(n-1)/n,
根据勾股定理,得
BN=√(AN²+AB²)=(a/n)*√(n²+1)
BF=BN/2=[a/(2n)]*√(n²+1)
容易证明,△ANB∽△FBE,
∴BE/BF=BN/AN
解得,BE=a(n²+1)/(2n)
∴CE=BE-BC=a(n-1)²/(2n)
(1)当n=3时,DN=2a/3,CE=2a/3,
∵AD‖BE,
∴DM/CM=ND/CE=1
即DM=CM
(2)∵AD‖BE,DM=(1/2)CM
∴ND/CE=DM/CM=1/2
即[a(n-1)/n]/[a(n-1)²/(2n)]=1/2
2/(n-1)=1/2
∴n=5
稍后附图,
延长BC和NM,相交于E,过E作EF⊥BN于F,
∵∠CBF=∠MNF,
∴EB=EN,FB=FN,
∵AD=nAN
∴AN=a/n,ND=AD-AN=a(n-1)/n,
根据勾股定理,得
BN=√(AN²+AB²)=(a/n)*√(n²+1)
BF=BN/2=[a/(2n)]*√(n²+1)
容易证明,△ANB∽△FBE,
∴BE/BF=BN/AN
解得,BE=a(n²+1)/(2n)
∴CE=BE-BC=a(n-1)²/(2n)
(1)当n=3时,DN=2a/3,CE=2a/3,
∵AD‖BE,
∴DM/CM=ND/CE=1
即DM=CM
(2)∵AD‖BE,DM=(1/2)CM
∴ND/CE=DM/CM=1/2
即[a(n-1)/n]/[a(n-1)²/(2n)]=1/2
2/(n-1)=1/2
∴n=5
稍后附图,