百度作业网数学上三角形三心在同一直线上的欧拉定理如何证明
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/04 07:33:28
数学上三角形三心在同一直线上的欧拉定理如何证明
方法1：（利用几何画板）
逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E
先以简单的四面体ABCD为例分析证法.
去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变.因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V+F1-E=1
（1）去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E不变.依次去掉所有的面,变为“树枝形”.
（2）从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E不变,直至只剩下一条棱.
以上过程V+F1-E不变,V+F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V+F-E =2.
对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段.因此公式对任意简单多面体都是正确的.
方法2：计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V,面数F,棱数E.剪掉一个面,使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α
一方面,在原图中利用各面求内角总和.
设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为：
∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800
=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）
另一方面,在拉开图中利用顶点求内角总和.
设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·1800,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间.中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800.
所以,多面体各面的内角总和：
∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=（V-2）·3600. （2）
由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600
所以 V+F-E=2.
再问： 不是，是三角形中的
再答： 那就用欧拉线的证明： 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’。 ∵ BD是直径， ∴ ∠BAD、∠BCD是直角。 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC。 ∵ CH⊥AB，AH⊥BC， ∴ DA‖CH，DC‖AH。 ∴ 四边形ADCH是平行四边形， ∴ AH=DC。 ∵ M是BC的中点，O是BD的中点。 ∴ OM= DC。 ∴ OM= AH。 ∵ OM‖AH， ∴ △OMG’ ∽△HAG’。 ∴ 。 ∴ G’是△ABC的重心。 ∴ G与G’重合。 ∴ O、G、H三点在同一条直线上。 上面的回答是欧拉定理，我没有看清楚
逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E
先以简单的四面体ABCD为例分析证法.
去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变.因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V+F1-E=1
（1）去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E不变.依次去掉所有的面,变为“树枝形”.
（2）从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E不变,直至只剩下一条棱.
以上过程V+F1-E不变,V+F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V+F-E =2.
对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段.因此公式对任意简单多面体都是正确的.
方法2：计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V,面数F,棱数E.剪掉一个面,使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α
一方面,在原图中利用各面求内角总和.
设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为：
∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800
=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）
另一方面,在拉开图中利用顶点求内角总和.
设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·1800,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间.中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800.
所以,多面体各面的内角总和：
∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=（V-2）·3600. （2）
由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600
所以 V+F-E=2.
再问： 不是，是三角形中的
再答： 那就用欧拉线的证明： 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’。 ∵ BD是直径， ∴ ∠BAD、∠BCD是直角。 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC。 ∵ CH⊥AB，AH⊥BC， ∴ DA‖CH，DC‖AH。 ∴ 四边形ADCH是平行四边形， ∴ AH=DC。 ∵ M是BC的中点，O是BD的中点。 ∴ OM= DC。 ∴ OM= AH。 ∵ OM‖AH， ∴ △OMG’ ∽△HAG’。 ∴ 。 ∴ G’是△ABC的重心。 ∴ G与G’重合。 ∴ O、G、H三点在同一条直线上。 上面的回答是欧拉定理，我没有看清楚