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2道高中数列问题``已知递推公式`求通项公式

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 19:29:59
2道高中数列问题``已知递推公式`求通项公式
(1) an=a(n-1)+a(n-2),a1=a2=1
(2) an=a(n-1)+1/a(n-1),a1=2
解答的好的我会另外加分```
2道高中数列问题``已知递推公式`求通项公式
1
a1=1
a2=1
a3=a1+a2=2
a4=a2+a3=3
a5=a3+a4=5
从第二项开始:
是数菲波纳奇数列
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...
递归函数是f(n+1)=f(n)+f(n-1),没有初等函数的通项公式.
2
猜想:通项是不能用初等函数表示出来的.
理由:通项的式子是非线性的.难以用一般的方法求出来.要求的所谓的“通项”,其实也只不过是以n作自变量,用那八九类基本初等函数复合而已.否则,若不能用那些基本初等函数复合得到,通项也就不能精确地表示出来了,只能求助于计算数学,求出某一项的近似值,也不能求出所有的近似值.
所以,现在首要的问题就是证明这个通项能不能写出解析表达式,即用初等函数复合出来.如果这个问题解决不了,很可能我们的一切努力都是白费了.
在微分方程中,刘维尔证明过几乎所有的非线性方程,解函数没有解析表达式.
而在这里,我估计结论差不多.更具体的如何去操作,不得而知了.
但可以证明这个通项是趋于正无穷的.从已知的式子,利用归纳法可证an1/n,从而a(n+1)>=an+1/n,而an递增,从而通项的增长速度不慢于调和级数的.