所谓的平方和公式~有n个数,求这n个数的平方和,问下这个公式是怎么来的~例：1^2+2^2+3^2+4^2+……+(n-

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 19:33:34

所谓的平方和公式~
有n个数,求这n个数的平方和,问下这个公式是怎么来的~
例：
1^2+2^2+3^2+4^2+……+(n-1)^2+n^2
=1/6*(n+1)*(2n+1)

证明：1^2+2^2+3^2+4^2+.n^2=?
利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+******+n^3=n^2(n+1)^2/4
类似的利用恒等式
(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1
得
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1
.
2^4-1^4=4+6+4+1
n个等式两边相加得
(n+1)^-1^4=4(1^3+2^3+ .+n^3)+6*(1^2+2^2+ .+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
代入1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 及1+2+3+...+n=(n+1)n/2
整理得
4(1^3+2^3+ .+n^3)=(n+1)^4-1-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n
4(1^3+2^3+ .+n^3)=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-1-2n^3-3n^2-n-2n^2-2n-n
4(1^3+2^3+ .+n^3)=n^4+2n^3+n^2
(1^3+2^3+ .+n^3)=n^2(n^2+2n+1)/4
=n^2(n+1)^2/4

所谓的平方和公式~有n个数,求这n个数的平方和,问下这个公式是怎么来的~例：1^2+2^2+3^2+4^2+……+(n- 平方和公式n(n+1)(2n+1)/6是怎么求得的? 求和公式：从1到n的平方和,请问怎么推导?答案是n(n+1)(2n+1)/6 设n是正整数,如果在包含2009在内的2n+1个连续的正整数中,前n+1个数的平方和等于后n个数的平方和,求n的值数学平方和公式证明1^2 2^2 3^2 … n^2=n(n 1)(2n 1)*1/6怎么推导出来的? n个自然数：1,2,3,4,……,n,其平方和可用公式n（n+1）（2n+1）分之6来计算,试计算：求,N个数的平方和公式,及其立方和公式.谢谢啦. 利用公式（n=1)^3=n^3+3n^2+3n+1来计算前n个自然数的平方和,即求1^2+2^2+3^2+...+n^2 n个自然数:1,2,3…,n,其平方和可用公式n(n+1)(2n+1)/6来计算,试计算11*11+12*12+ 平方和公式：1^2+2^2+3^2…+n^2=(1/6)n(n+1)(2n+1) 第一个数是1,第二个数是2,第三个数是4,第四个数是8,以此类推,求第N个数的公式是怎样的? 平方和公式n(n+1)(2n+1)/6怎么证明?