百度作业网椭圆内三角形面积问题过椭圆2x^2+y^2=2右焦点的直线交椭圆于A、B两点,求三角形AOB面积的最大值.
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/07 11:42:04
椭圆内三角形面积问题
过椭圆2x^2+y^2=2右焦点的直线交椭圆于A、B两点,求三角形AOB面积的最大值.
过椭圆2x^2+y^2=2右焦点的直线交椭圆于A、B两点,求三角形AOB面积的最大值.
椭圆2x^2+y^2=2
即y²/2+x²=1,焦点在y轴上
c²=a²-b²=2-1=1
上焦点为F(0,1)
设AB：y=kx+1
代入2x^2+y^2=2
2x²+(kx+1)²=2
即(k²+2)x²+2kx-1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-2k/(k²+2)
x1x2=-1/(k²+2)
∴|x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1x2
=4k²/(k²+2)²+4/(k²+2)
=(4k²+4k²+8)/(k²+2)²
=8(k²+1)/[(k²+1)+1]²
=8(k²+1)/[(k²+1)²+2(k²+1)+1]
=8/[(k²+1)+1/(k²+1)+2]
根据均值定理
（k²+1)+1/(k²+1)≥2
当k²+1=1/(k²+1),即k=0时,取等号
∴[(k²+1)+1/(k²+1)+2]≥4
8/[(k²+1)+1/(k²+1)+2]≤2
即|x1-x2|≤√2
∴三角形AOB面积
S=1/2*|OF|*|x1-x2|
≤1/2*√2=√2/2
即三角形AOB面积的最大值为√2/2
即y²/2+x²=1,焦点在y轴上
c²=a²-b²=2-1=1
上焦点为F(0,1)
设AB：y=kx+1
代入2x^2+y^2=2
2x²+(kx+1)²=2
即(k²+2)x²+2kx-1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-2k/(k²+2)
x1x2=-1/(k²+2)
∴|x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1x2
=4k²/(k²+2)²+4/(k²+2)
=(4k²+4k²+8)/(k²+2)²
=8(k²+1)/[(k²+1)+1]²
=8(k²+1)/[(k²+1)²+2(k²+1)+1]
=8/[(k²+1)+1/(k²+1)+2]
根据均值定理
（k²+1)+1/(k²+1)≥2
当k²+1=1/(k²+1),即k=0时,取等号
∴[(k²+1)+1/(k²+1)+2]≥4
8/[(k²+1)+1/(k²+1)+2]≤2
即|x1-x2|≤√2
∴三角形AOB面积
S=1/2*|OF|*|x1-x2|
≤1/2*√2=√2/2
即三角形AOB面积的最大值为√2/2
椭圆内三角形面积问题过椭圆2x^2+y^2=2右焦点的直线交椭圆于A、B两点,求三角形AOB面积的最大值.
椭圆2x的平方+y的平方=2,过椭圆一焦点的直线交椭圆于A,B两点,求三角形AOB面积的最大值
过椭圆x^2/4+y^2/3=1的右焦点F作直线l交椭圆于A.B两点.求三角形OAB面积的最大值.求简便点的方法
过椭圆x^2/3+y^2/4=1的右焦点F作直线l交椭圆于A.B两点.求三角形OAB面积的最大值.
过椭圆x^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A.B两点.椭圆中心为O.当三角形AOB面积最大时,求直线l的方
高2数学椭圆题目过椭圆2X的平方+Y的平方=2的上焦点的直线L交椭圆于A,B两点,求三角形AOB（O为原点）的面积最大值
设经过右焦点F的直线l与椭圆x^2/2+y^2=1交于A,B两点,求三角形AOB的面积最大值.O为原点
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如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值
过椭圆x^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A,B两点,中心为O当三角形AOB面积最大时,求直线l的方程
过椭圆x^2+2y^2=2的焦点引一条倾斜角为45度的直线与椭圆交于A,B两点,椭圆的中心为O,则三角形AOB的面积为
已知椭圆方程x^2/2+y^2=1,直线L过点（1,0）,交椭圆于A,B两点,求三角形AOB面积的最大值