百度作业网已知定义在[-1，1]上的单调函数f（x）满足f(13)＝log23，且对于任意的x∈[-1，1]都有f（x+y）=f（
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 23:00:47
已知定义在[-1，1]上的单调函数f（x）满足f(
)＝log
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![已知定义在[-1，1]上的单调函数f（x）满足f(13)＝log23，且对于任意的x∈[-1，1]都有f（x+y）=f（](/uploads/image/z/2902876-52-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8%5B-1%EF%BC%8C1%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%2813%29%EF%BC%9Dlog23%EF%BC%8C%E4%B8%94%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%9A%84x%E2%88%88%5B-1%EF%BC%8C1%5D%E9%83%BD%E6%9C%89f%EF%BC%88x%2By%EF%BC%89%3Df%EF%BC%88)
（1）由题意可知：令x=y=0，则
f（0+0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，可知f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数．
（2）由f（1-m）+f（1-2m）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-2m），
又函数f（x）为奇函数，
所以f（1-m）＜f（2m-1），
又函数为单调函数，且f(
1
3)＝
log32＞f（0）=0，∴函数在[-1，1]上为增函数，
所以
−1≤1−m≤1
−1≤2m−1≤1
1−m＜2m−1，
解得：
2
3＜m≤1
∴m的取值范围为：
2
3＜m≤1．
f（0+0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，可知f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数．
（2）由f（1-m）+f（1-2m）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-2m），
又函数f（x）为奇函数，
所以f（1-m）＜f（2m-1），
又函数为单调函数，且f(
1
3)＝
log32＞f（0）=0，∴函数在[-1，1]上为增函数，
所以
−1≤1−m≤1
−1≤2m−1≤1
1−m＜2m−1，
解得：
2
3＜m≤1
∴m的取值范围为：
2
3＜m≤1．
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