“贝特朗问题”：在半径为1的圆内随机地取一条弦,则其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少?

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 04:38:52

“贝特朗问题”：在半径为1的圆内随机地取一条弦,则其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少?
请各位好汉告诉我解题过程和答案.非常感谢

贝特朗(Brtrand)奇论
几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用．19世纪时,不少人相信,只要找到适当的等可能性描述,就可以给概率问题以唯一的解答,然而有人却构造出这样的例子,它包含着几种似乎都同样有道理但却互相矛盾的答案,下面就是一个著名的例子.
贝特朗奇论：在半径为1的圆内随机地取一条弦,问其长超过该圆内接等边三角形的边长 sqrt(3) 的概率等于多少?
解（一）任何弦交圆两点,不失一般性,先固定其中一点在圆周上,以此点为顶点作一等边三角形,显然只有落如此三角形内的弦才满足要求,这种弦的另一端跑过的弧长为整个圆周的1/3,故所求概率为1/2
（二）弦长只跟它与圆心的距离有关,而与方向无关,因此可以假定它与某一直径,当且仅当它与圆心的距离小于 1/2 时,其长度才大于sqrt(3) ,因此所求概率为 1/3
（三）弦长被其中心唯一确定,当且仅当其中点属于半径为 1/2 的同心圆内时,弦长大于sqrt(3) ,此小于圆的面积为大圆面积的1/4 ,因此所求的概率为1/4
同一问题有三种不同的答案,细究原因,发现是在取弦时采用不同的等可能性假设.在第一种解法中,假定端点在圆周上均匀分布,在第二种解法中则假定弦的中心在直径上均匀分布,而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布.这三种答案是针对三种不同的随机试验,对于各自的随机试验而言,它们都是正确的.
因此,在使用术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时,应明确指明含义,这又因试验而异.
1899年贝特朗在巴黎出版《概率论》,书中对几何概率提出了批评,并以生动的实例引起大家的注意.这种善意的批评,推动了概率论的发展.

“贝特朗问题”：在半径为1的圆内随机地取一条弦,则其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少? 数学概率的计算点A是半径为1的圆上一定点,若在圆内随机作一条弦AB,则AB长度超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少? 在半径为1的圆上随机地取两点,形成一条弦,则其常超果园内接等边三角形的变长的概率为? 在半径为2的圆内随机地取一点A，以点A为中点做一条弦PQ，求弦PQ长超过圆内接正三角形的边长概率是多少（　　）数学计数原理概率以半径为1的圆内任意一点为中心做弦,求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率概率:以半径为1的圆内任一点为中心作弦,求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率过圆内一条直径上任意一点作垂直于直径的弦,弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率为多少? 以半径为1的圆内任一点为中点作弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为…? 有关几何概型已知半径为的圆及圆内接三角形求下列情况的概率.1、在圆内任取一点,以该点为中点的弦长超过内接正三角形的边长. 有一半径为1的圆,在圆上任取两点,连接这两点成一条弦,问该弦大于此圆内接正三角形边长的概率. 在边长为4的等边三角形中有一个内切圆,往三角形内随机投一颗钢球,则它落在圆内的概率为? 半径为1的圆中的弦长大于内接正三角形边长的概率是多少?