百度作业网设函数f（x）在区间[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=f（1）=0，f（12）=1．
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 13:09:03
设函数f（x）在区间[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=f（1）=0，f（
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（1）令g（x）=f（x）-x，则g（x）在[
1
2，1]连续，在(
1
2，1)可导，且g（1）=f（1）-1=0-1=-1＜0，g(
1
2)=f(
1
2)-
1
2=1-
1
2=
1
2＞0
∴由零点定理：∃η∈(
1
2，1)，使得g（η）=0，即f（η）=η
命题得证
（2）设h（x）=e-λx[f（x）-x]，x∈[0，η]，则h（x）在[0，η]连续，在（0，η）可导，且h（0）=h（η）=0
∴由洛尔定理可知，∃ξ∈（0，η），使得h'（ξ）=0
又h'（x）=e-λx[f'（x）-1-λ（f（x）-x）]
∴由h'（ξ）=0，得：
e-λξ[f'（ξ）-1-λ（f（ξ）-ξ）]=0
∴f'（ξ）-λ（f（ξ）-ξ）=1
命题得证
1
2，1]连续，在(
1
2，1)可导，且g（1）=f（1）-1=0-1=-1＜0，g(
1
2)=f(
1
2)-
1
2=1-
1
2=
1
2＞0
∴由零点定理：∃η∈(
1
2，1)，使得g（η）=0，即f（η）=η
命题得证
（2）设h（x）=e-λx[f（x）-x]，x∈[0，η]，则h（x）在[0，η]连续，在（0，η）可导，且h（0）=h（η）=0
∴由洛尔定理可知，∃ξ∈（0，η），使得h'（ξ）=0
又h'（x）=e-λx[f'（x）-1-λ（f（x）-x）]
∴由h'（ξ）=0，得：
e-λξ[f'（ξ）-1-λ（f（ξ）-ξ）]=0
∴f'（ξ）-λ（f（ξ）-ξ）=1
命题得证
设函数f(x)在闭区间「0,1」上连续,在（0,1）上可导,且f(0)=0,f(1)=1/3,
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